*120095*

Физика/ 1. Теоретическая физика./ Теоретическая механика.

К. физ.-мат. наук Севрюков П.Ф.

Ставропольский государственный педагогический институт, Россия.

Введение функций эксцентриситета в возмущённой задаче Баррара.

 

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль оси динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид

,                                           (1)

где f – гравитационная постоянная, т – масса планеты, r – модуль радиус-вектора, In – постоянный параметр, Рn – полином Лежандра n – го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 3]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда I1=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, I2=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:

,                                        (2)

где sinφ=. Оставшиеся члены гравитационного потенциала составят пертурбационную функцию

,                                             (3)

U=W+R.                                                   (4)

Задача Баррара полностью учитывает возмущающий эффект второй зональной гармоники гравитационного потенциала планеты. Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. [3]

В сферических координатах r, φ, λ решение невозмущённой задачи Баррара имеет вид

                                                      (5)

                                                   (6)

             (7)

где

,                                                (8)

,                                                  (9)

,                                                               (10)

,           (11)

,                                                                  (12)

.                                               (13)

 - неполные эллиптические интегралы III рода, модуль и параметры которых равны соответственно

, ,   .

В формулах (5)-(13) а, e, i, Ω, v, ω являются аналогами большой полуоси, эксцентриситета, наклона орбиты, долготы восходящего узла, истинной аномалии и аргумента перицентра кеплеровской орбиты для задачи Баррара и переходят в кеплеровские элементы про с=0.

Выражение (6) с учётом (10) и (11), а также разложения в ряд

                    (14)

с точностью до ɛ2 даёт

sinφ=sini∙cosƟ,                                          (15)

где

Ɵ=v+ω.                                                     (16)

Запишем пертурбационную функцию R в виде

,                               (17)

где для сокращения записи обозначено s=sini.

В соответствии с (5)

                                              (18)

Тогда можно представить в виде ряда Фурье

,                                  (19)

или в комплексной форме:

.                                   (20)

Коэффициенты , являющиеся функциями эксцентриситета е, при этом определяются формулой

.                                   (21)

Найдём формулы, позволяющие вычислять коэффициенты  для всех ν и k. Если

,                                             (22)

то

,                                                   (23)

.                                            (24)

С учётом записанных соотношений

                        (25)

или, поскольку

,

в комплексной форме

.              (26)

Разложим сомножители правой части (26) в ряд по степеням , при этом получим:

,       (27)

.   (28)

Перемножая ряды (27) и (28) и подставляя полученный результат в (26), находим разложение для  в виде (20). Коэффициенты разложения  определяются формулами:

В реальных спутниковых задачах ν<0. Остановимся на этом случае подробнее.

Если ν<0 и k≥-ν+1, то все коэффициенты  равны нулю, таким образом, при ν<0 и k≤-ν ряды (29) становятся многочленами.

Положим в соответствии с введёнными ранее обозначениями     n=-ν>0, тогда из (21) можно получить

.                                    (30)

Воспользуемся формулой бинома Ньютона

,                                 (31)

где

;      .

Умножим (31) на coskv и проинтегрируем по v в пределах от 0 до 2π, при этом будем иметь

.                      (32)

Если m-k – число нечётное, то

,

если m-k – число чётное, то

.                                      (33)

Положим m-k=2j, тогда

,                         (34)

где  или , смотря по тому, чётное, или нечётное п-k.

Сравнивая (30) и (34), для функций эксцентриситета приходим к следующей формуле:

,                                       (35)

или в развёрнутом виде:

.                       (36)

Отметим, что связь между функциями эксцентриситета и коэффициентами Ганзена с нулевым верхним индексом даётся формулой [2]:

.                                           (37)

 

Библиографический список.

1.                 Barrar R.B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet.// Astron. Journ. 1961. V. 66, №1.

2.                 Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики./ М.: Мир, 1964, - 516с.

3.                 Дёмин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения./ М.: Наука, 1968. стр. 122-130.

4.                 Конкс В.Я. Канонические переменные «действие-угол» в задаче Баррара. //Космические исследования, 1985, т. 23, вып. 3, стр.477-479.

5.                 Пуанкаре А. Новые методы небесной механики// Пуанкаре А. Избранные труды/ М.: Наука, 1971. т. 1, стр. 8-326.

6.                 Севрюков П.Ф. О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара.// Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. научн. трудов/ Пермь: – Перм. ун-т, 1989. стр. 142-145.