*120095*
Физика/ 1. Теоретическая
физика./ Теоретическая механика.
К. физ.-мат.
наук Севрюков П.Ф.
Ставропольский
государственный педагогический институт, Россия.
Введение функций эксцентриситета в
возмущённой задаче Баррара.
Рассмотрим движение
спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной
планеты. Если ось аппликат направить вдоль оси динамической симметрии планеты,
а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный
потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид
, (1)
где f – гравитационная постоянная, т – масса планеты, r – модуль радиус-вектора, In – постоянный параметр, Рn – полином Лежандра n – го порядка.
Гравитационное поле
планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 3]. При этом начало
координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда I1=с. Это
значение составляет аппликату центра масс планеты, I2=0, а
потенциал Баррара запишется следующим образом:
, (2)
где sinφ=. Оставшиеся
члены гравитационного потенциала составят пертурбационную функцию
, (3)
U=W+R. (4)
Задача Баррара
полностью учитывает возмущающий эффект второй зональной гармоники гравитационного
потенциала планеты. Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара
интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. [3]
В сферических
координатах r, φ, λ решение невозмущённой задачи Баррара имеет вид
(5)
(6)
(7)
где
, (8)
, (9)
, (10)
, (11)
, (12)
. (13)
- неполные
эллиптические интегралы III рода, модуль
и параметры которых равны соответственно
,
,
.
В формулах (5)-(13) а, e, i, Ω, v, ω являются аналогами большой
полуоси, эксцентриситета, наклона орбиты, долготы восходящего узла, истинной
аномалии и аргумента перицентра кеплеровской орбиты для задачи Баррара и
переходят в кеплеровские элементы про с=0.
Выражение (6) с учётом
(10) и (11), а также разложения в ряд
(14)
с точностью до ɛ2 даёт
sinφ=sini∙cosƟ, (15)
где
Ɵ=v+ω. (16)
Запишем пертурбационную
функцию R в виде
, (17)
где для сокращения записи обозначено s=sini.
В соответствии с (5)
(18)
Тогда можно представить в виде ряда Фурье
, (19)
или в комплексной форме:
. (20)
Коэффициенты , являющиеся функциями эксцентриситета е, при этом определяются формулой
. (21)
Найдём формулы,
позволяющие вычислять коэффициенты для всех ν и k. Если
, (22)
то
, (23)
. (24)
С учётом записанных
соотношений
(25)
или, поскольку
,
в комплексной форме
. (26)
Разложим сомножители
правой части (26) в ряд по степеням , при этом получим:
, (27)
. (28)
Перемножая ряды (27) и (28) и
подставляя полученный результат в (26), находим разложение для в виде (20).
Коэффициенты разложения
определяются
формулами:
В реальных спутниковых задачах ν<0. Остановимся на этом случае подробнее.
Если ν<0 и k≥-ν+1, то
все коэффициенты равны нулю, таким
образом, при ν<0 и k≤-ν ряды
(29) становятся многочленами.
Положим в соответствии
с введёнными ранее обозначениями n=-ν>0,
тогда из (21) можно получить
. (30)
Воспользуемся формулой
бинома Ньютона
, (31)
где
;
.
Умножим (31) на coskv
и проинтегрируем по v в пределах от 0 до 2π, при этом будем иметь
. (32)
Если m-k – число нечётное, то
,
если m-k – число
чётное, то
. (33)
Положим m-k=2j, тогда
, (34)
где или
, смотря по тому, чётное, или нечётное п-k.
Сравнивая (30) и (34),
для функций эксцентриситета приходим к следующей формуле:
, (35)
или в развёрнутом виде:
. (36)
Отметим, что связь
между функциями эксцентриситета и коэффициентами Ганзена с нулевым верхним
индексом даётся формулой [2]:
. (37)
Библиографический список.
1.
Barrar R.B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate
planet.// Astron. Journ. 1961. V. 66, №1.
2.
Брауэр Д., Клеменс Дж.
Методы небесной механики./ М.: Мир, 1964, - 516с.
3.
Дёмин В.Г. Движение
искусственного спутника в нецентральном поле тяготения./ М.: Наука, 1968. стр.
122-130.
4.
Конкс В.Я. Канонические
переменные «действие-угол» в задаче Баррара. //Космические исследования, 1985,
т. 23, вып. 3, стр.477-479.
5.
Пуанкаре А. Новые методы
небесной механики// Пуанкаре А. Избранные труды/ М.: Наука, 1971. т. 1, стр.
8-326.
6.
Севрюков П.Ф. О
дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара.//
Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы:
Межвуз. сб. научн. трудов/ Пермь: – Перм. ун-т, 1989. стр. 142-145.