Чиркова Л.Н., к.п.н.

Вятский Государственный Университет, Россия

Одно свойство верхнего и нижнего пределов функций

Введем понятия верхнего и нижнего пределов функции f(x). Пусть точка x₀ – предельная точка области определения функции f(x).

Число а – верхний предел функции f(x) при (обозначается символом ), если выполняются следующие условия:

1) : и ;

2) , , : .

Если в любой проколотой окрестности точки x₀ функция принимает как угодно большие положительные (отрицательные) значения, то по определению полагаем: (). Аналогично вводится понятие нижнего предела функции.

Рассмотрим множество значений {f(x)} функции f(x) на . Рассмотрим . При уменьшении эта величина является невозрастающей функцией от (ограниченной или неограниченной снизу), и, следовательно, существует (конечный, если функция ограничена снизу, или бесконечный в противном случае). Тогда сформулируем определение верхнего предела в терминах точной верхней грани: предел называют верхним пределом функции f(x) при , т.е. . Аналогично, предел называют нижним пределом функции f(x) при .

Известно, что не существует. Найдем верхний и нижний пределы функции при :

; .

Определим верхний и нижний предел функции при , используя понятие частичного предела функции в точке x₀ (если , , , то у называется частичным пределом функции в точке ): Наибольший из всех частичных пределов функции f(х) при назовем верхним пределом функции f(х), наименьший из всех частичных пределов функции f(х) при называется нижним пределом функции f(х).

Рассмотрим одно из свойств верхнего и нижнего пределов.

Пусть функции f(х) и g(х) определены в некоторой окрестности точки x₀. Справедливо утверждение: верхний предел в точке x₀ суммы функций f и g не превосходит суммы верхних пределов данных функций в этой в точке:

.

Если же одна из рассматриваемых функций в точке x₀ имеет обычный предел, то данное соотношение выполняется со знаком равенства:

.

Аналогично формулируется свойство и для нижнего предела суммы функций в данной точке: нижний предел в точке x₀ суммы функций f и g не меньше суммы нижних пределов данных функций в этой точке:

.

Последнее соотношение выполняется со знаком равенства, если одна из функций в точке x₀ имеет обычный предел.

Поясним это свойство.

.

Пусть теперь существует . Докажем, что в этом случае . Отметим, что неравенство выполняется автоматически по доказанному. Покажем, что справедливо и неравенство .

Пусть , тогда по определению 3 верхнего предела b – это наибольший из всех частичных пределов функции при , и пусть он доставляется некоторой последовательностью , где , , , т.е. . Пусть , тогда по определению Гейне , , . Поскольку последовательности значений функций и сходящиеся, по свойствам сходящихся последовательностей их сумма есть также сходящаяся последовательность, причем . Тогда а+b – какой-то из частичных пределов функции (f +g)(х) в точке x₀. Но тогда , поскольку верхний предел – это наибольший из всех частичных пределов функции в точке. Нужное установлено.

Литература:

1. Брайчев Г. Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005. 232 с.

2. Чиркова Л. Н. Понятие верхнего и нижнего пределов функций // Materiály XII mezinárodní vědecko-praktická conference «Vědecky průmysl evropského kontinentu − 2016»/ − Díl 11. Zemědělství. Geografie a geologie. Matematika: Praha. Publishing House «Education and Science» s.r.o. C.82-84.