Витюгов А.В. Ивахненко Н.Н.

Донецкий Институт Железнодорожного Транспорта

История применения дифференцированного исчисления

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500-1557 гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяли Ньютон и Лейбниц. Ей посвятил целый трактат в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж.

Дифференциальное исчисление – широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию. В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников. Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводиться к нахождению экстремума функции.

Применение производной позволяет увидеть планируемые действия, понять их необходимость, тем самым, помогая экономистам в составлении успешных бизнес-планов.

Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную ( в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс – интегрирование.

Определение производной, выдерживая определённую концепцию, по – своему преподносят в современных учебниках Алимов, Башмаков и Колмагоров.

Принято считать, что трактовка производной Алимовым в учебнике направлена в основном на то, каким образом применяются формулы производной на практике. Каждое дополнение к понятию производной автор обязательно закрепил задачами.

Колмогоров отводит данной теме более большой объём. Может быть, характер производной раскрыт более сложно и вызывает затруднения, но подробная детализация некоторых аспектов гарантирует высокую подготовку.

Учебник Башмакова принято считать более подходящим для самостоятельного изучения материала. Понятия производной Башмаков излагает очень кратко, но последовательность доказательств помагает просто и понятно вникнуть в тему. Особая характерная черта – Башмаков все абстрактные математические понятия «воплощает» в жизни, предлагая конкретные примеры.

Заключение: Применение производной довольно широко. Однако в наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач.

Литература

В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.

И. Ф. Суворов “Курс высшей математики”. М.: Просвещение, 1964., 128 стр.

В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика», 1997 г., 145 стр.

Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1, Физматлит 2001 г., 616 стр.