Чернелівська Я. 46 МО

Тези на тему: Чисельні методи оптимізації функції однієї змінної

Методи оптимізації застосовуються до пошуку розрахунку оптимальної технології, оптимальної геометричної конструкції, найкращого часу для технологічних процесів і подібних задач.

Чисельні методи оптимізації — методи наближеного або точного розв'язування задач чистої або прикладної математики, які ґрунтуються на побудові послідовності дій над скінченною множиною чисел.

Основні вимоги до чисельних методів, щоб вони були стійкими та збіжними. Чисельні методи називаються стійкими, якщо результати неперервно залежать від вхідних даних задачі або якщо похибка округлення, пов'язана з реалізацією чисельних методів на ПК, залишається обмеженою при заданих межах зміни параметрів чисельних методів. Чисельні методи називаються збіжними, якщо результати прямують до точного розв'язку задачі при прямуванні параметрів чисельних методів до певних граничних значень [6].

Чисельні методи дозволяють розв’язувати задачу шляхом арифметичних операцій над числами з потрібною точністю. Основне питання теорії чисельних методів: отримання чисельних методів, які задовольняють вимоги високої точності, стійкості та економічності. Розробка чисельних методів, що задовольняють ці вимоги, є складною задачею оптимізації чисельних методів. На сьогоднішній день розроблена і використовується достатня кількість чисельних методів оптимізації функцій однієї змінної. Кожний метод має особливості, переваги та недоліки застосування до певного класу екстремальних задач. Вибір чисельного методу в першу чергу залежить від виду цільової функції, яка може бути однопараметричною і багато параметричною [4].

Виділяють такі групи чисельних методів оптимізації функції однієї змінної:

- метод виключення інтервалів;

- метод з використанням поліноміальних функцій;

- метод з використання похідних.

Метод виключення інтервалів використовується з метою

швидкого отримання попередніх результатів та надійної роботи алгоритму при невідомій заздалегідь цільовій функції. Даний метод включає: метод половинного ділення, метод золотого перерізу, метод Фібоначчі, метод сканування [3].

Метод з використанням поліноміальних функцій різних типів широко використовуються для оцінювання відносної зміни значень функції у пробних точках, у даних методах пропонується замінити нелінійну функцію однієї змінної f(x) поліномом, який побудований по точках даної функції з подальшим пошуком екстремуму полінома, використовуючи необхідну умову екстремуму = 0. При застосуванні даних функцій можна досягти певного зниження абсолютної і середньоквадратичної похибок [5]. Даний метод в свою чергу включає: метод поліноміальної апроксимації, метод поліноміальної інтерполяції, методи квадратичних функцій, тощо.

Методи з використанням похідних включає метод хорд, метод дотичних, метод середньої точки. Розглянемо найпоширеніші чисельні методи функції однієї змінної.

Метод половинного поділу відрізку не ставить ніяких вимог до існування похідної функції, для нього достатньо щоб функція була безперервною.

Метод золотого перерізу заснований на поділі відрізка на нерівні частини з метою визначення наступного відрізку у якому локалізується екстремум унімодальної функції. Метод забезпечує більш швидку збіжність до розв'язку, ніж деякі інші методи. Золотий переріз визначається за правилом: відношення довжини відрізка до більшої його частини дорівнює відношенню більшої частини відрізка до меншої [3].

Метод хорд апроксимує функцію f (x) хордою і знаходить точку, в якій січна графіка f (x) перетинає вісь абсцис [1].

Метод дотичних(Нютона) полягає в поділі об'єктів аналізу на групи за допомогою дотичних до кривої аналізу. Перевага методу полягає в його гнучкості, простоті та наочності, а недолік - складність автоматизації. Метод Ньютона(дотичних) або дотичних є одним з основних чисельних методів розв’язання алгебраїчних рівнянь виду: f(x)=0 . В основі методу лежить апроксимація функції лінійними членами її степеневого ряду. Метод Ньютона на кожному кроці потребує знаходження матриці других похідних, що робить його трудомістким. Цю проблему, шляхом зменшення швидкості збіжності, усунуто методі хорд, де матриця других похідних замінена матрицею розділених різниць першого порядку [2].

Отже, чисельні методи оптимізації функцій однієї змінної широко використовується на практиці та покладені в основу комп’ютерних алгоритмів, які орієнтовані на пошук точок локального екстремуму.

Література:

1. Бартіш М., Огородник Н. Модифікація методу хорд розв’язування

задач мінімізації / М. Бартіш, Н. Огородник // Обчислювальна математика. – 2008. – №4 – С.5-10.

2. Бахрушин В.Є. Особливості застосування методу Нютона

нелінійних рівнянь / В. Є. Бахрушин // Системний аналіз і освіта. – 2004. – №15 – С.127-130.

3. Методи оптимізації в економіці / О. В. Клочко, В. І. Клочко, Н А.

Потапова: Навчальний посібник, 2013. – 451с.

4. Методи оптимізації одновимірних задач. Режим доступу :

http://posibnyky.vntu.edu.ua/met/lek13.htm.

5. Самотий В. Використання алгоритмів для апроксимації функцій

дійсними полінолами / Самотий В. // Львівська політехніка. – 2011. – С. 313-318.

6. Режим доступу: http://uk.wikipedia.org/ wiki/Чисельні_методи.