А.Е.
Мартьянова
к.т.н., доц.,
ФГОУ ВПО «Астраханский государственный технический университет», Астрахань,
Россия
Анализ двух
задач упругого контакта МКЭ
Моделирование контактного взаимодействия
является важным элементом моделирования процессов трения и изнашивания [1].
Часто контактные задачи не поддаются точному решению, поэтому используют моделирование
на компьютере. Метод конечных элементов (МКЭ) является самым популярным численным
методом для прочностных и других видов расчетов как наиболее удобный для реализации
на ЭВМ. Не смотря на достигнутые при изучении контактного взаимодействия
численными методами успехи, остается открытым вопрос о точности решения
контактных задач МКЭ. Понимание всех возможностей МКЭ и его возможных ошибок
определяется заложенными в нем теоретическими принципами и способами их реализации
[2].
В настоящей статье рассматривается
применение МКЭ к изучению действия сосредоточенной нормальной силы на упругое
полупространство (задача Буссинеска) и изучению действия давления, равномерно распределенного
по круговой области, на упругое полупространство с целью исследования точности
МКЭ.
Плоскость z = 0 является границей упругого полупространства.
Рассмотрим действие сосредоточенной силы P, приложенной перпендикулярно поверхности в начале координат,
в точке O. Сила P направлена вдоль оси z. Задача является осесимметричной, и в цилиндрических
координатах на поверхности полупространства (z = 0) имеем для определения перемещений [1]:
. (1)
Из выражения (1) видно, что перемещения у начала координат,
совпадающего с точкой приложения силы P, становятся бесконечно большими.
Также из выражения (1) видно, что профиль деформированной поверхности
имеет форму гиперболоида, который асимптотически приближается к
недеформированной поверхности полупространства при увеличении расстояния от
точки O и отражает наличие теоретически неограниченной осадки
в точке O.
Далее рассмотрим действие давления, равномерно распределенного по
круговой области радиуса a, на упругое полупространство. Эта задача так же
является осесимметричной. В этом случае перемещения равны [1]:
r ≤ a, (2)
где 
– полный
эллиптический интеграл второго рода модуля r/a.
r > a, и
(3)
где 
– полный
эллиптический интеграл первого рода модуля 
.
МКЭ реализован в пакете Mathcad для
осесимметричного треугольного элемента при упругом поведении материала [2].
Треугольный элемент завоевал популярность благодаря простоте задания
постоянного значения деформации внутри элемента, а также в виду удобства описания
геометрических характеристик сложных конструкций. Был выбран вариант сетки
конечных элементов, фрагмент которой представлен на рис. 1, как реализующий
качественно лучшее соответствие теоретическому распределению напряжений.
Упругое полупространство расчетных схем
рассматриваемых задач смоделировано цилиндром радиуса R и высоты Z,
находящемся в осесимметричном состоянии – рис. 1, а) и 1, б). Каждый элемент на
рис. 1 изображен как двумерный элемент, но в действительности является кольцом.
На оси симметрии z обеспечены соответствующие условия закрепления ur = 0 (запрещены перемещения вдоль оси r). Основание цилиндра имеет условия закрепления ur, uz
= 0 (запрещены перемещения вдоль осей r и z). На
боковой стороне цилиндра реализованы условия закрепления ur = 0 (запрещены перемещения вдоль оси r). Модуль упругости материала E = 2*1011 Па, коэффициент Пуассона μ =
0,3.
Рис.1.
Расчетная схема к изучению действия на упругое полупространство:
На рис. 1, а) представлена расчетная схема к изучению действия на
упругое полупространство сосредоточенной нормальной силы P, где P = 1*104 Н. На рис 1, б) представлена
расчетная схема к изучению действия на упругое полупространство давления p,
равномерно распределенного по круговой области радиуса a, где a = 2,351*10-3
м, p*πa2 =
1*104 Н.
Расчеты произведены при варьировании числа узлов M по оси r и N по оси z при изменении
размеров R и Z расчетной схемы и разных степенях сгущения, причем
было принято R = Z. При разбиении контура расчетной схемы на конечные
элементы учтена возможность задания сгущения узлов в соответствии с законом
геометрической прогрессии по осям r и (или) z к заданному узлу. Определены погрешности расчета:
нормальных перемещений Uz
узлов верхнего основания цилиндра для расчетной схемы рис. 1, а) – по формуле
(1) и для расчетной схемы рис. 1, б) – по формулам (2) и (3).
Для расчетной схемы рис. 1, а) в точке приложения усилия P из-за
того, что теоретические перемещения, рассчитанные по формуле (1) становятся
бесконечно большие, определить точность расчетов становится невозможным.
Например, для этой расчетной схемы было установлено влияние числа узлов на
точность расчетов, что проиллюстрировано графиком рис. 2. На заданной круговой
площадке расчетной схемы распределение узлов принято равномерным. В центре этой
круговой площадки приложена сосредоточенная нормальная сила P. Число
узлов вне заданной круговой площадки меняется. Здесь распределение узлов
осуществлено в соответствии с законом геометрической прогрессии. На легенде
графика указано число узлов: первая цифра – число узлов для заданной круговой
площадки, вторая цифра – число узлов за пределами этой площадки. По рис. 2
можно увидеть, что увеличение количества узлов на круговой площадке увеличивает
точность расчета, но и число узлов вне площадки не должно быть меньше некоторой
величины, в противном случае сильно снижается точность расчетов (см. кривую с
обозначением «38;4»). Размеры расчетной схемы здесь R = Z = 10*a.
Рис.
2. Влияние числа узлов расчетной схемы на точность расчетов
Был выполнен также ряд других расчетов.
Итак, для первой задачи установлено: 1) с увеличением числа узлов конечных
элементов точность решения увеличивается; 2) сгущение узлов элементов к узлу
приложения сосредоточенной нормальной силы позволяет повысить точность расчета;
3) на точность решения МКЭ оказывают влияние абсолютные размеры и условия закрепления
расчетной схемы на границах контура расчетной схемы. Для второй задачи
установлено: 1) с ростом числа узлов КЭ при тех же размерах расчетной схемы
после достижения определенного числа узлов в области контакта и за пределами
области контакта точность расчетов увеличивается мало; 2) на точность решения
МКЭ влияние степени сгущения сетки конечных элементов в области контакта мало;
3) на точность расчетов оказывают влияние абсолютные размеры и условия
закрепления расчетной схемы.
Список
литературы
1. Джонсон
К. Механика контактного взаимодействия. – М.: Мир, 1989. – 506 с.
2. Зенкевич
О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 541 с.