Математика/5. Математическое моделирование

Агейков В.Ю.

Алтайский государственный технический университет, Россия

Теоретико-групповой подход в применении к идентификации аналитической модели озера

Аналитическая модель озера, основанная на простейшей зависимости Вольтерра [3, 9], упрощена до двух уравнений, описывающих трансформацию "органика - минеральное вещество", с видоизмененными коэффициентами трансформации d и g, и периодами времени переходов веществ t₁ ≠ t₂, допускающими две разрешимые группы [1, 2]:

(1)

где разность ∆t равна t₂ - t₁ или t₁ - t₂ — подстановка зависит от "доминирующего" периода при расчетах; t — время; z и y — соответственно концентрации органического и минерального веществ.

На основе разрешимых групп [1, 2] выводятся расчетные формулы модели (1), которые можно рассматривать в качестве параметрических преобразований, переводящих одни решения в другие [4, 6], содержащих в качестве множителей при зависимых переменных обобщенные коэффициенты, которые включают в себя в качестве аргументов модельные коэффициенты, начальное значение t₀ и фиксированное t, а также имеющих аддитивный обобщенный член. Преобразованные решения в символических обозначениях [2]:

(2)

Формула (2) показывают, что все модельные коэффициенты одновременно способны сдвигать и растягивать-сжимать решение. Для выявления тех модельных коэффициентов, что наиболее влиятельны для сдвига и/или растяжения-сжатия решения можно записать аналогично (2) решения через нулевой и первый члены ряда Ли [2, 7, 8]:

(3)

В формуле (3) выявлен коэффициент d, важный для растяжения-сжатия решения для y (двойное подчеркивание) и сдвига для z (подчеркивание). Далее, начиная со следующего члена ряда Ли, зависимости обобщенных коэффициентов становятся такими же, что и в (2).

Эксперименты с моделью подтвердили правоту особенного влияния коэффициента d (см. рис. 1) в сравнении с g (см. рис. 2) и достаточность использования в этой связи нулевого и первого членов ряда Ли для получения объективной информации о влиянии коэффициентов. Этот факт трудно установить на фоне шаблонов и натурных данных [5] (см. рис. 3).

Для реальных расчетов была определена пара предпочтительных для настройки параметров — t₁ и t₂. Коэффициенты d и g безразмерные, их можно проигнорировать приравниванием единице. Эта пара настраивается хуже в условиях близких к жестким (различаются порядки скоростей). Для настройки t₁ и t₂ использовался метод Ньютона с перебором его начальных значений. Графики среднесуточных значений t₁ и t₂ представлены на рис. 4.

Рис. 1. Пример влияния коэффициента d (значения 0,1; 0,3; 0,5)

для произвольных g (0,3), t₁ и t₂ (соответственно 15 и 5)

Рис. 2. Пример влияния коэффициента g (значения 0,1; 0,3; 0,5)

для произвольных d (0,3), t₁ и t₂ (соответственно 15 и 5)

Рис. 3. Пример расчета по шаблону (линии) в сравнении с

данными для оз. Балатон для всех вариантов с критериями Тейла ~10^-3

Рис. 4. Среднесуточные t₁ и t₂ по двум формулам для реальных

данных оз. Балатон, где тонкая и толстая непрерывные линии — это t₁ и t₂ для формулы с доминированием t₂, а пунктирные, аналогичных

толщин, для формулы с доминированием t₁; знаком "○" на оси времени выделены переходные точки для смены знака неравенства между t₁ и t₂

Литература:

1. Агейков В.Ю. Методы группового анализа в применении к аналитическим моделям пресноводных экосистем // Ползуновский вестник. – 2002. – № 1 – С. 95-97.

2. Агейков В.Ю. Групповой анализ в этапах математического моделирования гидробиохимической трансформации веществ пресноводных экосистем // Ползуновский вестник. – 2008. – № 3 – С. 314-321.

3. Домбровский Ю.А., Ильичев В.Г., Селютин В.В., Сурков Ф.А. Теоретические и прикладные аспекты моделирования первичной продуктивности водоемов. – Ростов-н/Д: Изд-во РостГУ, 1990. – 176 с.

4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. – М.: Наука, 1979. – 760 с.

5. Леонов А.В. Математическое моделирование трансформации соединений фосфора в пресноводных экосистемах (на примере оз. Балатон). – М.: Наука, 1986. – 152 с.

6. Митропольский Ю.А., Лопатин А.К. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики. – Киев: Наукова думка, 1988. – 271 с.

7. Pilipchuk V.N., Tan C.A. Non-linear system identification based on Lie series solutions // Mechanical Systems and Signal Processing. – Jan. 2005, Vol. 19, Iss. 1. – PP. 71-86.

8. Rodriguez J. A MAPLE program for the generation of the Lie-series solution of systems of non-linear ordinary differential equations // Computer Physics Communications. – Jan. 1992, Vol. 67, Iss. 3. – PP. 537-542.

9. Volterra V. Variations and fluctuations of the number of individuals in animal species living together // Rapp. P. – V. Reun. Cons. Int. Explor. Mer. – 1928. – Vol. 3. – PP. 3-51.