Математика
/ 4. Прикладная математика
К.ф.-м.н.
Быкова И.Ю.
Восточно-Казахстанский
государственный технический университет, Республика Казахстан
Стохастическая модель планирования
распределения ресурсов, направленных на развитие экономики региона с апостериорными
решающими правилами
Рассмотрим многоэтапную задачу принятия решений по распределению финансовых ресурсов на развитие региона с вероятностными ограничениями и апостериорными решающими правилами:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
где t Î[1,T] –
периоды принятия решения по распределению ресурсов, c(t) – определенное количество средств, i = 1,2,
..., n – возможные направления распределения ресурсов (полагаем,
что развитие каждого направления – независимо), n – количество направлений, по
которым распределяются или перераспределяются ресурсы, ui
– количество ресурсов, вкладываемых в i-е направление в момент
времени t, yi(t) – показатель развития i-го направления (объекта
и т.д.) в момент времени t, – экспертные оценки
(некоторое числовое выражение) идеального или желательного состояния
(перспективный план развития, эталонное состояние) i-го направления в конце периода планирования, Si
– эффективность вложения средств в i-е
направление или объект (прирост на единицу вкладываемых средств), di(t) – внешний фактор, который чаще всего
принимает отрицательное значение и определяет количество ресурсов или средств,
необходимое для поддержания состояния i-ой отрасли региона в
текущем состоянии при использовании соответствующего варианта распределения
ресурсов, причем вектор ck(t,wk-1) – вектор статистических ограничений.
В качестве целевого функционала был выбран классический принцип утилитаризма.
Будем говорить, что распределение ресурсов (средств), при котором суммарное развитие направлений (объектов) будет максимальным, является наилучшим с точки зрения утилитаризма.
Обозначим через
, а
обозначим как
.
Будем вычислять апостериорные решающие правила, т.е. определять решение среди случайных величин
Обозначим через pi вероятностную
меру на – множестве
элементарных событий A, определенную следующим образом:
если А М
, то pi (А)=
, а через pi – условную вероятностную
меру на
: для
всех А М
, В М
для любого
,
Меру pn будем предполагать непрерывной.
Пусть S –s - алгебра случайных событий на W.
Таким образом, мы определили вероятностное пространство (W, S, Р).
Переформулируем задачу (1)-(5) следующим образом. Требуется минимизировать
(6)
на совокупности измеримых отображений
где Ui – множества произвольной структуры таких, что uijÎUij, i,j=1,2,...,n,
удовлетворяющих условиям:
(7)
(8)
(9)
(10)
Будем предполагать, что cj(t,w j-1) – ограниченные
измеримые вектор-функции. Введем –мерные вектор-функции
и определим норму
вектора
следующим образом
где |cj| – евклидова норма вектора cj
в mj-мерном евклидовом пространстве. Согласно [91],
совокупность всех таких функций образует банахово пространство, которое
обозначим через Cj. Тогда каждой
вектор-функции cn(t,w n-1)ÎCn
будет соответствовать своя задача (6)-(10). Обозначим через
нижнюю грань целевого
функционала (6) задачи (6)-(10), это функция на Cn.
Зафиксируем .
Рассмотрим следующую задачу. Минимизировать
(11)
на совокупности
измеряемых отображений: , удовлетворяющих условиям:
(12)
(13)
(14)
Обозначим через нижнюю грань
минимизируемого целевого функционала данной задачи.
Теорема 1. совпадает с
нижней гранью минимизируемого функционала в следующей задаче:
(15)
для всех , таких , что
(16)
(17)
(18)
Теорема 2. При выпуклых по ui функциях и
,
, функционал
- выпуклый.
Построим задачу, двойственную к (6)–(10), и рекуррентную последовательность решающих правил.
Рассмотрим следующую последовательность функций:
;
;
;
;
;
;
........................................................................................................
;
;
........................................................................................................
;
;
.
Обозначим через замыкание
функции
по норме
пространства
, т.е.
есть наибольшая
полунепрерывная снизу на
функция, не
превосходящая
.
Теорема 3. .
Теперь можем сформулировать рекуррентное решающее
правило, которое здесь выступает как достаточное условие оптимальности.
Теорема 4. Для того, чтобы задача принятия решений (11)-(14) имела
решение достаточно, чтобы
существовали такие вектор-функции
и
, что удовлетворяются условия (12) (как равенства при
) и
(19)
где , а остальные
определяются по
выше описанному рекуррентному правилу.
Полученные рекуррентные правила позволяют находить наилучшее с некоторой точки зрения решение по распределению ресурсов, направленных на развитие региональной экономики, позволяющих корректировать принимаемое решение на каждом этапе инвестиционного потока и учитывать влияние внутренних и внешних факторов на развитие той или иной отрасли экономики.