Математика / 4. Прикладная математика

К.ф.-м.н. Быкова И.Ю.

Восточно-Казахстанский государственный технический университет, Республика Казахстан

Стохастическая модель планирования распределения ресурсов, направленных на развитие экономики региона с апостериорными решающими правилами

Рассмотрим многоэтапную задачу принятия решений по распределению финансовых ресурсов на развитие региона с вероятностными ограничениями и апостериорными решающими правилами:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

где t Î[1,T] – периоды принятия решения по распределению ресурсов, c(t) – определенное количество средств, i = 1,2, ..., n – возможные направления распределения ресурсов (полагаем, что развитие каждого направления – независимо), n – количество направлений, по которым распределяются или перераспределяются ресурсы, u_i – количество ресурсов, вкладываемых в i-е направление в момент времени t, y_i(t) – показатель развития i-го направления (объекта и т.д.) в момент времени t, – экспертные оценки (некоторое числовое выражение) идеального или желательного состояния (перспективный план развития, эталонное состояние) i-го направления в конце периода планирования, S_i – эффективность вложения средств в i-е направление или объект (прирост на единицу вкладываемых средств), d_i(t) – внешний фактор, который чаще всего принимает отрицательное значение и определяет количество ресурсов или средств, необходимое для поддержания состояния i-ой отрасли региона в текущем состоянии при использовании соответствующего варианта распределения ресурсов, причем вектор c_k(t,w^k-1) _– вектор статистических ограничений.

В качестве целевого функционала был выбран классический принцип утилитаризма.

Будем говорить, что распределение ресурсов (средств), при котором суммарное развитие направлений (объектов) будет максимальным, является наилучшим с точки зрения утилитаризма.

Обозначим через , а обозначим как .

Будем вычислять апостериорные решающие правила, т.е. определять решение среди случайных величин

Обозначим через pⁱ вероятностную меру на – множестве элементарных событий A, определенную следующим образом:

если А М , то pⁱ (А)= , а через p_i – условную вероятностную меру на : для всех А М , В М

для любого ,

Меру pⁿ будем предполагать непрерывной.

Пусть S –s - алгебра случайных событий на W.

Таким образом, мы определили вероятностное пространство (W, S, Р).

Переформулируем задачу (1)-(5) следующим образом. Требуется минимизировать

(6)

на совокупности измеримых отображений

_{где Ui – множества произвольной структуры таких, что uijÎUij, i,j=1,2,...,n,}

удовлетворяющих условиям:

(7)

₍₈₎

(9)

(10)

Будем предполагать, что c_j(t,w ^j-1) – ограниченные измеримые вектор-функции. Введем –мерные вектор-функции и определим норму вектора следующим образом где |c_j| – евклидова норма вектора c_j в m_j-мерном евклидовом пространстве. Согласно [91], совокупность всех таких функций образует банахово пространство, которое обозначим через C_j. Тогда каждой вектор-функции cⁿ(t,w ^n-1)ÎC_n будет соответствовать своя задача (6)-(10). Обозначим через нижнюю грань целевого функционала (6) задачи (6)-(10), это функция на C_n.

Зафиксируем .

Рассмотрим следующую задачу. Минимизировать

(11)

на совокупности измеряемых отображений: , удовлетворяющих условиям:

(12)

(13)

(14)

Обозначим через нижнюю грань минимизируемого целевого функционала данной задачи.

Теорема 1. совпадает с нижней гранью минимизируемого функционала в следующей задаче:

(15)

для всех , таких , что

(16)

(17)

(18)

Теорема 2. При выпуклых по u_i функциях и , , функционал - выпуклый.

Построим задачу, двойственную к (6)–(10), и рекуррентную последовательность решающих правил.

Рассмотрим следующую последовательность функций:

;

;

;

;

;

;

........................................................................................................

;

;

_{........................................................................................................}

;

;

.

Обозначим через замыкание функции по норме пространства , т.е. есть наибольшая полунепрерывная снизу на функция, не превосходящая .

Теорема 3. .

Теперь можем сформулировать рекуррентное решающее правило, которое здесь выступает как достаточное условие оптимальности.

Теорема 4. Для того, чтобы задача принятия решений (11)-(14) имела решение _{достаточно, чтобы существовали такие вектор-функции} и , что удовлетворяются условия (12) (как равенства при ) и

(19)

где , а остальные определяются по выше описанному рекуррентному правилу.

Полученные рекуррентные правила позволяют находить наилучшее с некоторой точки зрения решение по распределению ресурсов, направленных на развитие региональной экономики, позволяющих корректировать принимаемое решение на каждом этапе инвестиционного потока и учитывать влияние внутренних и внешних факторов на развитие той или иной отрасли экономики.