Математика/ 1. Диференціальні і інтегральні рівняння
К.ф.-м.н. А.І. Казмерчук
Прикарпатський національний
університет імені В.Стефаника
Збурення
гіперболічних систем квазілінійних рівнянь першого порядку
У цій роботі вивчаємо систему
квазілінійних рівнянь першого порядку
, (1)
Нехай . Окрім цього, вважаємо, що система (1) гіперболічна та сильно нелінійна
([1]). В подальшому вивчаємо задачу Коші для
системи (1) з початковою умовою
,
(2)
де .
Означення
Обмежена вимірна вектор-функція
називається
узагальненим розв’язком задачі (1), (2), якщо система (1) розуміється у сенсі
розподілів, виконується ентропійна умова на характеристиках ([1]), та умова (2)
приймається у слабкому сенсі.
При вивченні
нелокальної теорії задачі (1),(2) важливим є обґрунтування наближених методів
розв’язання, таких як метод в’язкості, метод згладжування, скінченно-різницеві
методи ([2]). Питання стійкості узагальненого розв’язку при збуренні потокової
вектор-функції є також не менш важливим. В цій роботі показано, як
будувати стійкі збурення систем квазілінійних рівнянь першого порядку (1) за
допомогою систем квазілінійних рівнянь
першого порядку, які є системами вищого порядку.
Розглянемо систему квазілінійних
рівнянь першого порядку
, (3)
Нехай . Для системи (3) ставимо задачу Коші з початковою умовою
, (4)
де .
Означення
Задача (3),(4) називається
збуренням задачі (1),(2) на класі , якщо для будь-якої початкової вектор-функції
існує послідовність вектор-функцій
така, що при
розв’язок
системи (3),(4) прямує
до
, де
- узагальнений розв’язок
задачі (1),(2).
Теорема
1 Нехай для будь-якої початкової вектор-функції розв’язок задачі
(1),(2) гладкий. Тоді існують системи (3), для яких задача (3),(4) є
збуренням задачі (1),(2) на класі
.
Теорема
2 Нехай і
. Тоді існують
системи (3), для яких задача (3),(4) є збуренням задачі (1),(2) на класі
.
Методика
доведення теорем 1,2 споріднена з методикою в роботі [2].
Література:
1. Lax P.D. Hyperbolic system of conservation laws.-Comm.
Pure Appl.Math.-1957.-V.10.-p.537-566.
2. Казмерчук А.І. До обґрунтування
наближених методів розв’язання квазілінійних законів збереження з негладкими
даними задачі. - Вісник національного університету “Львівська політехніка”,
Прикладна математика.-2000.-№411.-с.147-151