Математика/ 1. Диференціальні і інтегральні рівняння

К.ф.-м.н. А.І. Казмерчук

Прикарпатський національний університет імені В.Стефаника

Збурення гіперболічних систем квазілінійних рівнянь першого порядку

У цій роботі вивчаємо систему квазілінійних рівнянь першого порядку

, (1)

Нехай . Окрім цього, вважаємо, що система (1) гіперболічна та сильно нелінійна ([1]). В подальшому вивчаємо задачу Коші для системи (1) з початковою умовою

, (2)

де .

Означення Обмежена вимірна вектор-функція називається узагальненим розв’язком задачі (1), (2), якщо система (1) розуміється у сенсі розподілів, виконується ентропійна умова на характеристиках ([1]), та умова (2) приймається у слабкому сенсі.

При вивченні нелокальної теорії задачі (1),(2) важливим є обґрунтування наближених методів розв’язання, таких як метод в’язкості, метод згладжування, скінченно-різницеві методи ([2]). Питання стійкості узагальненого розв’язку при збуренні потокової вектор-функції є також не менш важливим. В цій роботі показано, як будувати стійкі збурення систем квазілінійних рівнянь першого порядку (1) за допомогою систем квазілінійних рівнянь першого порядку, які є системами вищого порядку.

Розглянемо систему квазілінійних рівнянь першого порядку

, (3)

Нехай . Для системи (3) ставимо задачу Коші з початковою умовою

, (4)

де .

Означення Задача (3),(4) називається збуренням задачі (1),(2) на класі , якщо для будь-якої початкової вектор-функції існує послідовність вектор-функцій така, що при розв’язок системи (3),(4) прямує до , де - узагальнений розв’язок задачі (1),(2).

Теорема 1 Нехай для будь-якої початкової вектор-функції розв’язок задачі (1),(2) гладкий. Тоді існують системи (3), для яких задача (3),(4) є збуренням задачі (1),(2) на класі .

Теорема 2 Нехай і . Тоді існують системи (3), для яких задача (3),(4) є збуренням задачі (1),(2) на класі .

Методика доведення теорем 1,2 споріднена з методикою в роботі [2].

Література:

1. Lax P.D. Hyperbolic system of conservation laws.-Comm. Pure Appl.Math.-1957.-V.10.-p.537-566.

2. Казмерчук А.І. До обґрунтування наближених методів розв’язання квазілінійних законів збереження з негладкими даними задачі. - Вісник національного університету “Львівська політехніка”, Прикладна математика.-2000.-№411.-с.147-151