Математика/5. Математическое моделирование

 

Утебаева А.М., Медетбаева С.А., Айпанов Ш.А.

Алматы технологиялық университеті, Қазақстан

 

ЖОЛ «КЕПТЕЛІСТЕРІН»

МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ

 

Мақалада көшедегі автокөлік ағынын математикалық модельдеу мәселесі қарастырылған. Соңғы жылдары ірі қалаларда автомобильдердің саны күрт өсуіне байланысты жол «кептелістері» проблемасы әлеуметтік тұрғыдан да, ғылыми тұрғыдан да өзекті мәселелердің біріне айналды. Көшедегі автокөлік қозғалысының математикалық моделін қарас­тыра­лық [1-3].

1) Модельде қарастырылатын автомобильдер саны шексіз көп бо­луы мүмкін емес, себебі автомобильдер саны артқан сайын модельдің де күр­де­лілігі арта түседі. Өте көп автомобильдерден тұратын математикалық мо­дель үшін аналитикалық зерттеулер жүргізу де, компьютердің көмегімен сандық есеп­теулер жүргізу де оңай болмас еді. Сондықтан, ағындағы авто­мо­бильдер саны шектеулі деп алынған. Модельде ұзындығы  L-ге тең жолдың бір жолағының бойымен бірінен соң бірі қозғалып келе жатқан  n  автомобиль қарастырылады Осы қарасты­рылып отырған жолақтағы автокөлік ағынының қоз­ғалысы ұзындығы  L-ге тең периодпен  қайта­ла­нып отырады деп ұйға­рылған.

2) Модельде біз жолдың бір жолағының бойындағы ғана автокөлік ағы­нын қарастырамыз, автомобильдер басқа жолаққа ауысып,  бір-бірін басып озбай­ды деп есептейміз; демек, автомобильдердің траекториялары қиылыс­пауы тиіс.

3) Автокөлік ағынындағы әрбір автомобильдің қозғалысы Ньютонның екінші заңына сәйкес екінші ретті дифференциал теңдеумен сипатталады. Егер біз  n  автомобильден тұратын ағын қарастырсақ, бұл ағынның математи­калық моделі  2n  ретті дифферен­циал теңдеулер жүйесінен тұратын болады.

4) Әрбір жүргізуші өз автомобилінің жылдамдығын алдында келе жат­қан автомо­биль­ге дейінгі қашықтық  h-қа байланысты өзгерте алады; демек, жүр­гі­зушінің өз автомобилінің жылдамдығын басқа бір шамаға жеткізуге ұмты­лысын  V(h)  функциясы арқылы сипаттауға болады. Автомо­биль алдын­да­ғы бос жолдың (алдындағы автомобиль­ге дейінгі дистанцияның) ұзындығы  h  не­ғұр­­лым үлкен болса, автомобильдің де жылдамдығын соған сәйкес арт­тыруға бо­ла­ды; демек,  V(h)  функциясы өз аргументі  h-қа байланысты өспелі функция болуы тиіс.

5) Жүргізуші дистанция  h  өзгерген мезетте дереу өз автомобилінің жылдамдығын  өзгерте алмайды, алдындағы автомобильге дейінгі арақашық­тық­тың қаншалықты өзгергенін бағалап, шешім қабылдау үшін  θ-ге тең уақыт қажет. Бұл уақыт жүргізушінің реакциясының кешігуі деп аталады. Демек, жүр­гі­зу­ші­нің автомобильдің жылдам­дығын қандай шамаға жеткізу керек деген  t  уақыт мезетіндегі шеші­мін сол уақыт мезетіндегі дистанция  h(t)-ға емес,  θ  уақыт бұрын болған дистанция  h(t – θ)-ға тәуелді болады деп алуымыз керек.

6) Алдыңғы көлікке дейінгі  арақашықтық белгілі бір шама  hmin-ға жет­пей­ін­ше, тоқтап тұрған автомобиль орнынан қозғалмауы керек. Және керісінше, алдыңғы көлік тоқтап тұрса, онда арақашықтық  hmin-ға дейін азайған сәтте жүргізуші өз автомобилін жедел тоқтатуға әрекет жасауы керек. Жүр­гі­зу­ші­лер сақтауға тиісті бұл талап автокөлік ағынынын­дағы автомо­бильдер қозғалы­сы­ның қауіп­сіз­дігін қамтамасыз етеді. Авто­мобильдің жыл­дамдығын сипат­тай­тын  V(h)  функциясын қарастыратын болсақ, аргументтің   мәндері үшін  V(h)  функциясының мәндері нөлге тең болуы керек  (V(h) = 0).

7) Жол жүру ережелері бойынша автомобильдің ең үлкен жылдамдығы  Vmax үшін де шектеу қойылады. Бұл шектеу де автокөлік ағынынындағы автомо­биль­дер қозғалысының қауіп­сіз­дігін қамтамасыз етеді.

8) Енді қауіпсіз жылдамдық функциясы  V(h)-ты қалай таңдауға болатын­ды­ғы туралы айта кетелік. Бұл функцияға қойылатын негізгі талап – ол жоғарыда 4), 6), 7) пункттерде көрсетілген шектеулерді қанағат­тандыруы қажет. Мысалы, [3] жұмыста  V(h)  функциясын мына түрде таңдау ұсыныл­ған:

9) Модельде қолданылатын тағы бір параметр    автомобильдердің тех­ни­ка­лық сипаттамаларына (оның массасы, геометриялық өлшемдері, қозғалт­қышының қуаты, үйкеліс коэффициенті, т.б.) байланысты анықталады. Егер жүргізуші автомо­биль­­дің жыл­дам­дығын қазіргі шамасынан келесі бір басқа шамаға дейін өзгерткісі келсе, онда бұл өзгеріске жұмсалатын уақыт  Δt  авто­мобильдің техникалық сипат­тамала­ры­на байланысты болады: мысалы, автомо­бильдің қозғалтқы­шы­ның қуаты неғұрлым көбірек болса, солғұрлым жұм­салатын уақыт азырақ болады (кері шама  α = 1 / Δt  авто­мо­биль­дің cезім­тал­дық коэффициенті деп аталады).

Енді ұзындығы  L-ге тең жол жолағының бойымен бірінен соң бірі тіз­бек­те­ліп қозғалып келе жатқан  n  автомобильдің қозғалыстарын сипат­тай­тын теңдеулерді құрастырайық.    арқылы  i-інші автомобильдің  t  уа­қыт мезетін­де­гі координатасын,    арқылы оның жылдам­ды­ғын,    ар­­қы­­лы оның үдеуін белгілейік (бұл жерде айнымалының үстін­дегі нүкте осы ай­ны­ма­лының уақыт бойынша туындысын білдіреді, ал айны­ма­лы­ның үстін­дегі қос нүкте осы айнымалы­ның уақыт бойынша екінші ретті туын­дысын біл­ді­ре­ді).

Жоғарыда айтқанымыздай, әр жүргізушінің өз автомобилінің алдында келе жатқан көлікке дейінгі арақашықтықты бағалап, жылдамдықты қалай өзгерту қажеттігі туралы шешім қабылдауы үшін  θ-ге тең уақыт қажет (жүргізушінің жолдағы пайда болған ситуацияға деген реакциясы  θ  уақыт интервалына тең кешігумен жүзеге асырылады). Яғни,  i-інші жүргізушінің  t  уақыт мезетінде өз автомобилінің қауіпсіз жылдамдығы туралы қабылдаған шешімі    шамасына тең болады, ал осы автомо­биль­дің  t  уақыт ме­зетіндегі нақты жылдамдығы    шамасына тең. Осы екі шаманың айыр­ма­сын    деп белгілесек,  i‑інші автомо­биль­дің  t  уа­қыт мезетіндегі үдеуі    болады, мұндағы   – автомобильдің жылдамдығын өзгерту туралы шешімді жүзеге асыруға қажетті уақыт аралығы (жоғарыда айтқаны­мыз­дай, кері шама  α = 1 / Δt  автомобильдің сезімталдық коэффициенті деп аталады). Ав­то­мо­биль­дің үдеуі­ оң немесе теріс ша­ма болуы мүмкін, оның мәні де ай­ны­ма­лы болады; үдеуді жүр­гізуші өз автомобилінің қозғалтқышы­нан туын­дай­тын күшті өзгерту арқы­лы басқарып отырады.

Жұмыстың басты мақсаты автокөлік ағынындағы «кептелістерді» зерттеу болғандықтан, автомобильдің қандай қозғалысын «кептелістегі» қозғалыс деп айтуға бола­ты­нын анықтап алу қажет. Бәрімізге белгілі, «кептелістегі» қозға­лыстың ең басты белгісі – «старт-стоп» қозғалысының пайда болуы. Алдыңғы көлікке дейінгі қашықтық бірте-бірте азайып, соған сәйкес автомобильдің жылдам­дығы да төмендей келе 0-ге тең болады да, ол біраз уақыт тоқтап тұрады. Содан кейін, алдыңғы көлік жүре бастағаннан кейін сәл кешігіп авто­мобиль де өз қозғалысын бастап, жылдамдығын белгілі бір шама  v*-ға дейін арттырады.         

Жұмыста автокөлік ағынын сипаттайтын дифференциал теңдеулер жүйесі қарастырылып, оның автокөлік «кептелістеріне» сәй­кес келетін «старт-стоп» шешімдерінің пайда болуы компьютерде сандық есептеулер негізінде зерттелген.

 

Әдебиет:

1 Семенов В.В. Математическое моделирование динамики транспортных потоков мегаполиса. – М.: Институт прикладной математики РАН, 2004. – 45 с.

(http://www.keldysh.ru/papers2004/prep34/prep2004_34.html)

2 Швецов В.И. Математическое моделирование транспортных потоков // Автоматика и телемеханика, 2003, № 11, с. 3-46.

3 Orosz G., Stépán G. Subcritical Hopf bifurcations in a car-following model with reaction-time delay // Proceedings of the Royal Society, A, 462, 2006, pp. 2643-2670. (http://www.people.ex.ac.uk/go202/articles/RoyalSocpublished.pdf)