Чапаев Т.М., Ханиев М.Ю.
ФГБОУ «Кабардино-Балкарская государственная сельскохозяйственная академия В.М.Кокова»
Стенка вертикального цилиндрического зернохранилища находится под
воздействием вертикальных сжимающих сил трения зерна о ее внутреннюю
поверхность. Кроме того, к этим сжимающим силам трения добавляются нагрузка от
крыши и вес самой стенки, составляющие примерно десятую часть от общей сжимающей
нагрузки. Наличие внутреннего бокового давления и его упругого отпора оказывает
стабилизирующее влияние, повышая устойчивость стенки. В свою очередь наличие
начальных прогибов в стенке такой оболочки должно снижать ее устойчивость.
При решении указанной задачи были приняты следующие допущения и упрощения:
оболочки считается тонкостенной, толщина ее постоянна по высоте корпуса и равна
средней толщине поясов; в запас устойчивости оболочки принимается шарнирное
опирание ее торцов; стенка оболочки сжата суммарной силой трения, приложенной к
торцу оболочки и нагрузкой от крыши (см. Рис. 1).
Рис. 1. Схема оболочки цилиндрического зернохранилища:
t=tср |
- |
средняя толщина поясов стали; |
q=qср |
- |
среднее
значение между давлением зерна на уровне каждого пояса стенки, определяемое
по СНиП 2.10.-05.85; |
Ркрыши |
- |
нагрузка от крыши; |
Ртрения |
- |
суммарная
сила трения, возникающая между зерном и
внутренней поверхностью стенки; |
L |
- |
длина оболочки зернохранилища; |
R |
- |
радиус оболочки зернохранилища. |
В зависимости от уровня внутреннего давления зерна и жесткости упругого
основания (зерновая масса) возможны два варианта потери устойчивости стенки:
a)
Образование сети
ромбовидных вмятин более вытянутых в кольцевом направлении в нижних наиболее
нагруженных поясах и уменьшающийся длиной вмятин в кольцевом направлении и
меньшей глубиной в верхних поясах;
b)
Образование кольцевых
складок в нижних поясах и ромбовидных вмятин, вытянутых в кольцевом направлении
в верхних поясах.
Вариант (а) в большей мере соответствует неосемметричной форме потери
устойчивости, вариант (б) соответствует в большей мере осесимметричной форме
потери устойчивости.
Принимая в запас устойчивости, что форма осесимметричных начальных прогибов
и характер
искривлений оболочки при осесимметричной форме потери устойчивости совпадают,
запишем
,
(1)
где: L-длина оболочки;
fo-стрела начального прогиба;
m-число полуволн вдоль образующей оболочки.
При приложении вертикальных сжимающих сил трения зерна и нагрузки от крыши
в стенке оболочки
появятся дополнительные прогибы
. Для их определения используются известное дифференциальное
уравнение равновесия, дополненное коэффициентом упругости основания, связанного
односторонней связью с оболочкой
,
где: и
- модуль
деформации и коэффициент Пуассона сыпучей массы;
R и t - радиус и
средняя толщина стенки оболочки.
Учитывая в данном случае, что прогибы оболочки меняются только вдоль
оси Х, уравнение равновесия принимает вид
, (2)
где: -цилиндрическая жесткость оболочки;
Е – модуль деформации
стали.
Решая (2) с
учетом (1) получим
выражение дополнительного докритического прогиба
,
(3)
где: .
Определяем полный докритический прогиб оболочки по формуле
, (4)
при этом появятся дополнительные окружные напряжения:
. (5)
Потеря устойчивости оболочки будет сопровождаться в этом случае
образованием осесимметричного прогиба
.
(6)
Уравнение совместности деформаций в данном случае имеет вид
.
(7)
Решая (7) с учетом граничных условий получим функцию
напряжений.
(8)Следует отметить, что последний член в формуле (8) характеризует
влияние окружных докритических напряжений , ускоряющих потерю устойчивости оболочки.Решая задачу
устойчивости энергетическим методом, определим соответствующие составляющие
полной энергии оболочки. Энергию деформации срединной поверхности оболочки
найдем по формуле
, (9)где:
- гибкость оболочки;
- коэффициент Пуассона стали;
m –
нечетное число.
Энергия изгиба оболочки равна.
(10)Работа вертикальных сил на сближение торцов оболочки определяется
выражением
.
(11)Внутреннее давление зерна на перемещениях стенки совершает работу
.
(12)Работу упругого отпора сыпучей (зерновой) массы находим из выражения
.
(13)Полная энергия оболочки определяется уравнением
. (14)Приравнивая
к нулю производные энергии оболочки по параметрам прогиба
и
, получим систему уравнений:
. (15)
. (16)Выразив
из уравнения (16)
получим
.
Выразив
через первые три члена в знаменателе
.
получим
.
(17)
Подставляя
(17) и значение из (5) в уравнение (15) получим кубическое
уравнение относительно
,
(18)
где:
– величина
критической нагрузки;
;
.
Используя
метод Кардано, подстановкой приводим кубическое
уравнение к «неполному» виду
, (19)
где:
;
.
Анализ
показывает, что и
, поэтому наименьший положительный корень находим по формуле
,
(20)
где:
.
Учитывая
использованную выше подстановку, получим
(21)
При
этом учитывая, что форма потери устойчивости принята нами совпадающей с формой
начальных прогибов, величину m получаем из
уравнения
(22)
Приведенное
выше решение позволяет определять величину критических усилий с учетом влияния внутреннего давления зерна, его упругого
отпора aс, величины начальных прогибов
и соотношения размеров оболочки
и
.