Технические науки /5. Энергетика

К.т.н. Калякин А.М., асс. Чеснокова Е.В., асс. Сауткина Т.Н.,

студент Богатов Р.И.

Саратовский государственный технический университет

имени Гагарина Ю.А.

Некоторые специальные приемы применения метода анализа размерностей

Часто при решении прикладных технических задач методом анализа размерностей число аргументов в общей функциональной зависимости оказывается больше трех. Для этих случаев был предложен способ введения комбинированного параметра [1]; в данной работе на простых задачах производится обобщение этого приема.

Задача 1. Жидкость тонкой пленкой стекает по вертикальной стенке под действием силы тяжести. Определить вид зависимости для скорости стекания плёнки.

В [1] показано , что возможно представить общий вид зависимости для скорости V так

V= f , (1)

Где - толщина плёнки, - кинематический коэффициент вязкости жидкости, g- ускорение свободного падения.

В данном случае сразу видно, что число уравнений будет меньше числа неизвестных, т.к. в размерности скорости присутствуют только длина и время (в правой части (1) масса также отсутствует), т.е. будет иметь два уравнения, а в правой части три аргумента.

Задача 2. Вывести зависимость для высоты подъема воды h в открытой стеклянной трубке, опущенной в жидкость.

В [1] показано, что общая зависимость для h будет иметь вид

h=f , (2)

где - коэффициент поверхностного натяжения, r- радиус трубки, g- ускорение свободного падения, - плотность жидкости.

В данном случае, очевидно, что уравнений может быть три, а аргументов в правой части (2) - четыре и формальное решение данной задачи методом анализа размерностей невозможно.

При решении задачи 1, задачи 2 и во многих других случаях возможно уменьшить число аргументов в правой части, образовав из уже имеющихся аргументов отношения и эти отношения считать новыми аргументами - тем самым уменьшив число неизвестных и сделав систему определенной. Например, в задаче 1 ясно, что стекание плёнки происходит под действием силы тяжести. Силы вязкости напротив, тормозят движение. Поэтому возможно образовать параметр, характеризующий соотношение этих противоположно направленных сил; он будет иметь вид

. (3)

Тогда зависимость (1) примет вид

, (4)

И система уравнений при формальном применении процедуры будет определенной, а окончательно зависимость для скорости будет иметь вид

. (5)

Параметр (3) может быть выбран и так

, (6)

но ответ получим опять в том, же виде (5).

Решение задачи 2.

а) Основываясь на представлениях, следующих из опыта заранее можно сказать, как будут входить величины и в правую часть – в виде отношения , при этом масса сокращается. С учетом этого замечания общий вид зависимости для будем таким

.

Понятно, что в таком виде после применения стандартной схемы получаем два уравнения и три неизвестных, т.е. данный выбор комбинированного параметра неудачен.

б) Сформируем параметр, выражающий отношение силы поверхностного натяжения к силе тяжести; он будет иметь вид

.

С учетом этого нового параметра зависимость для примет вид

.

В данном случае в правой при применении стандартной схемы составления и решения системы уравнений отсутствуют размерности массы и времени, поэтому имеем два аргумента и одну первичную величину – длину.

в) В качестве следующей попытки составить комбинированный параметр, представим его в виде

и зависимость для принимает вид

,

и в данном случае окончательно имеем единственно правильный ответ

.

г) Если комбинированный параметр выбрать в виде

,

то окончательный ответ будет иметь такой же вид, как и в предыдущем случае

.

Выводы:

В результате изложенного возможно привести правило для образования комбинированного параметра, упрощающее решения:

а) комбинированный параметр представляет собой отношение или произведение двух или большего числа аргументов и обязательно имеет размерность

б) он часто соответствует соотношению сил, действующих в данном физическом процессе

Литература

1. Калякин А.М. Физические свойства жидкостей. Метод анализа размерностей: конспект лекций / А.М. Калякин. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2006. 63 с.