Математика/ 1.Дифферинциальные и интегральные уравнения

К.ф.-м.н. Карнишин С.Г., Карнишина В.И.

Пермский военный институт внутренних войск МВД России (ПВИ ВВ МВД России), МБОУ «СОШ №47»,

г. Пермь, Российская Федерация

Устойчивость решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

. (1)

Функции a(t), b(t) и f (t) локально суммируемы на . Рассмотрим для уравнения (1) задачу Коши

,

, Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.. (2)

Обозначим через решение задачи (2) с начальными условиями

, .

Определение 1. Решение задачи (2) устойчиво, если для любого существует , что при любых , R, удовлетворяющих неравенствам , .

Обычно уравнение (1) сводят к системе дифференциальных уравнений первого порядка

(3)

а затем решение этой системы исследуют на устойчивость. Однако в некоторых случаях оказывается, что решение уравнения устойчиво, а решение соответствующей системы – нет.

Например, уравнение

имеет фундаментальную систему решений sin(exp t) и cos(exp t). Фундаментальная матрица соответствующей системы (3) имеет вид

X(t)=.

Очевидно, что решение системы неустойчиво. В действительности устойчивость решения уравнения (1) – это устойчивость решения системы (3) по первой компоненте. Получим признаки такой устойчивости, используя «W-метод» Н.В. Азбелева [1].

Теорема 1. Пусть существует число такое, что

.

Тогда решение уравнения (1) устойчиво.

Теорема 2. Пусть существует число такое, что при некотором

.

Тогда решение уравнения (1) устойчиво.

Теорема 3. Пусть существуют числа и такие, что

Тогда решение уравнения (1) устойчиво.

Рассмотрим частный случай уравнения (1): пусть a(t)a=const, . По теоремам 1 и 2 получаем:

Следствие 1. Если

,

то решение уравнения (1) устойчиво.

Следствие 2. Если и при некотором

,

то решение уравнения (1) устойчиво.

В качестве примера рассмотрим уравнение

Исследуем решение этого уравнения на устойчивость, используя теорему 3. Возьмём , . Так как

,

то решение уравнения устойчиво.

Литература:

1. Березанский Л.М. Развитие «W - метода» Н.В. Азбелева в задачах устойчивости решения линейных функционально – дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. – 1986. – Т.22, №5. – С.739-750.