Математика/ 1.Дифферинциальные
и интегральные уравнения
К.ф.-м.н. Карнишин С.Г., Карнишина В.И.
Пермский
военный институт внутренних войск МВД России (ПВИ ВВ МВД России), МБОУ «СОШ
№47»,
г. Пермь,
Российская Федерация
Устойчивость решения обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
второго порядка
. (1)
Функции a(t), b(t) и f (t) локально
суммируемы на
. Рассмотрим для уравнения (1) задачу Коши
,
,
Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.. (2)
Обозначим через решение задачи (2) с
начальными условиями
,
.
Определение
1. Решение задачи (2)
устойчиво, если для любого
существует
, что
при любых
,
R, удовлетворяющих неравенствам
,
.
Обычно уравнение (1) сводят к системе
дифференциальных уравнений первого порядка
(3)
а затем решение этой системы исследуют на
устойчивость. Однако в некоторых случаях оказывается, что решение уравнения
устойчиво, а решение соответствующей системы – нет.
Например, уравнение
имеет фундаментальную систему решений sin(exp t) и cos(exp t). Фундаментальная матрица соответствующей системы (3)
имеет вид
X(t)=.
Очевидно, что решение системы неустойчиво.
В действительности устойчивость решения уравнения (1) – это устойчивость
решения системы (3) по первой компоненте. Получим признаки такой устойчивости,
используя «W-метод» Н.В. Азбелева [1].
Теорема 1. Пусть
существует число такое, что
.
Тогда
решение уравнения (1) устойчиво.
Теорема 2. Пусть существует число такое, что при
некотором
.
Тогда
решение уравнения (1) устойчиво.
Теорема 3. Пусть существуют числа и
такие, что
Тогда
решение уравнения (1) устойчиво.
Рассмотрим частный случай уравнения (1): пусть a(t)a=const,
. По теоремам 1
и 2 получаем:
Следствие
1. Если
,
то
решение уравнения (1) устойчиво.
Следствие
2. Если и при некотором
,
то
решение уравнения (1) устойчиво.
В качестве примера рассмотрим уравнение
Исследуем
решение этого уравнения на устойчивость, используя теорему 3. Возьмём ,
. Так как
,
то
решение уравнения устойчиво.
Литература:
1. Березанский Л.М. Развитие «W - метода» Н.В. Азбелева в задачах устойчивости решения
линейных функционально – дифференциальных уравнений // Дифференциальные
уравнения. – 1986. – Т.22, №5. – С.739-750.