Математика/ 1. Диференціальні і інтегральні рівняння

К.ф.-м.н. Казмерчук А.І.

Прикарпатський національний університет імені В.Стефаника

Скінченно-різницеві методи вищих порядків для систем квазілінійних диференціальних рівнянь

У задачі Коші для систем квазілінійних рівнянь першого порядку

, (1)

(2)

де , окрім розв’язності важливим є питання обгрунтування наближених методів. Із зростанням можливостей обчислювальної техніки на перші ролі виходять саме скінченно-різницеві методи. В цій роботі отримано оцінки підвищеної точності в скінченно-різницевих методах для задачі (1),(2). Надалі вважаємо, що система (1) гіперболічна та сильно нелінійна ([1]).

Означення 1 Обмежена вимірна вектор-функція називається узагальненим розв’язком задачі (1), (2), якщо система (1) розуміється у сенсі розподілів, виконується ентропійна умова на характеристиках ([1]), та умова (2) приймається у слабкому сенсі.

Означення 2 При сіткова функція , для якої

,

називається наближеним розв’язком задачі (1),(2). Тут апроксимаційні різниці є різницями го порядку, причому різниця по враховує апроксимацію в’язкісної системи за Лаксом.

Теорема 1 Нехай . Тоді для наближеного розв’язку задачі (1),(2) при виконується оцінка

,

- модуль неперервності в початкової функції, а залежить від k.

Теорема 2 Нехай при . Тоді для наближеного розв’язку задачі (1),(2) при виконується оцінка

,

- сумісний модуль неперервності в початкових функцій, а залежить від k.

Доведення теорем 1,2 аналогічне до доведення тверджень в [2].

Література:

1. Lax P.D. Hyperbolic system of conservation laws.-Comm. Pure Appl.Math.-1957.-V.10.-p.537-566.

2. Казмерчук А.І. До обґрунтування наближених методів розв’язання квазілінійних законів збереження з негладкими даними задачі. - Вісник національного університету “Львівська політехніка”, Прикладна математика.-2000.-№411.-с.147-151