Математика/4. Прикладная математика

к.т.н. Бутенков С.А.¹, Бесланеев З.О.²

¹Технологический институт Южного федерального университета в г. Таганроге, Россия

²²Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, Россия

Методы информационной грануляции для проектирования параметризованных нечетких операций

Агрегирование данных в системах нечетких вычислений обычно производится с помощью операций, называемых -нормами и -конормами соответственно [1]. Для построения адаптивных нечетких систем используются параметризованные -нормы и -конормы, позволяющие значительно улучшить качество аппроксимации данных [2,3]. Эти операции должны удовлетворять аксиомам монотонности, ассоциативности и коммутативности [3]. В работе [4] были предложены методы построения более простых параметрических классов нечетких операций конъюнкции и дизъюнкции, основанные на отказе от аксиом ассоциативности и коммутативности. Условие ассоциативности часто не является необходимым в нечетких моделях [5], а некоммутативность может позволить учесть разный характер переменных, используемых в моделях вывода, при задании их позиций в правилах [4]. Однако, в указанных работах эти операции вводятся на интервале . В настоящей работе предлагаются новые классы обобщенных нечетких операций, которые удовлетворяют граничным условиям на произвольном интервале .

В соответствии с введенными в указанных работах определениями, для интервала будем называть -конъюнкцией (обобщенной конъюнкцией) функцию, удовлетворяющую условию монотонности и граничному условию. При тех же условиях будем называть -дизъюнкцией (обобщенной дизъюнкцией) функцию, удовлетворяющую условию монотонности и граничному условию . Решение задачи в аналитической форме может быть найдено с помощью геометрического подхода к построению нечетких операций [6,7], основанного на использовании математического аппарата -функций, введенных в работах В.Л. Рвачева [8]. Теория -функций возникла как метод распространения идей многозначной логики на область аналитической геометрии. В ней используются полные системы функций, называемых -операциями, которые параметризуются в виде:

-конъюнкция,

-дизъюнкция, (1)

-отрицание.

где – произвольная ограниченная функция, удовлетворяющая условию. Такая -система обозначается [8]. Важнейшее значение имеет система, получаемая при выборе (система ). Ее операции реализуют функции и , используемые в нечеткой логике [2]. Рвачев ввел также ряд других полезных систем:

,

, (2)

где величина является параметром, а также система:

,

, (3)

с параметром. На основании (1)-(3) введем классы обобщенных операций, которые удовлетворяют произвольно заданным граничным условиям для произвольного интервала, задаваемым также как параметры новых операций, что явно отличает их от известных операций [2]:

обобщенная конъюнкция,

обобщенная дизъюнкция, (4)

где – нижняя, а – верхняя границы интервала определения, параметр как и в (1) позволяет изменять свойства операции. Соответственно введем системы параметризованных операций вида:

,

, (5)

параметризованные по и

,

, (6)

параметризованные по .

Проиллюстрируем применение новых нечетких операций на примере построения с их помощью общей аналитической модели трапециедальной ФП нечеткой величины. Введем уравнения параметризованных базовых геометрических объектов, образующих трапецию [8]:

– левый склон, – правый склон. (7)

В соответствии с предлагаемой нами методикой запишем уравнения ФП с использованием (4), (8) в виде

. (9)

Следующий рисунок демонстрирует параметризацию результата применения новых операций для построения ФП (интеграции значений принадлежности) при различных значениях и стандартных для нечетких систем значениях граничных условий: нижнее – и верхнее –.

Рис. 1. Моделирование с помощью параметризованной операции .

На рисунках показаны также фигуры, получаемые без применения ограниченных операций, введенных в работе (пунктирные линии). Аналогичным образом можно параметризовать ФП и с помощью других обобщенных нечетких операций (5), (6), что изображено на следующих рисунках.

Рис. 2. Моделирование с помощью параметризованной операции .

Рис. 3. Моделирование с помощью параметризованной операции.

Изучение рисунков показывает, что с помощью применения новых нечетких операций можно проводить основные операции мягких вычислений [1-3]. В отличие от результатов [7], где иерархические системы -операций использовались только для построения ФП, результаты настоящей работы позволяют выполнять агрегирование информации, представленной в нечеткой форме.

Особенно интересен результат параметризации по Рис. 1 при. Он связан с основной идеей применения в парадигме гранулированных вычислений типового вычислительного ядра, которое может быть реализовано как программно, так и аппаратно [9]. Результат представления нечетких чисел про Рис. 1 показывает, что этот принцип можно распространить и на обычные множества, не изменяя ядра системы, только за счет параметризации используемых операций.

Литература

1. Ярушкина Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем. - М: Финансы и статистика, 2004. - 320 с.

2. Аверкин А.Н., Батыршин И.З., Блишун А.Ф., Силов В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А. Поспелова. – М.: Наука, 1986.

3. Klir J., Yuan B. Fuzzy Sets and fuzzy Logic: Theory and Applications.– Prentice Hall, 2002.

4. Batyrshin I., Kaynak O. Parametric classes of generalized conjunction and disjunction operations for fuzzy modeling // IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 1999.– v. 7.– № 5.– p. 586-596.

5. Batyrshin I. Generalized parametric conjunction operations in fuzzy modeling // R.Hampel, M.Wagenknecht, N.Chaker (eds.) Fuzzy Control. Theory and Practice.–Heilderberg; New York; Physica-Verlag, 2000. (Advances in Soft Computing).– р. 88-97.

6. Бутенков С.А. О построении нечетких отображений с помощью аналитических моделей // Новости искусственного интеллекта, Вып.3, Москва, c. 134-138, 2000.

7. Бутенков С.А., Джинави Я.А. Аналитические параметризованные модели функций принадлежности в гибридных нечетких системах // В сборнике трудов Научной сессии МИФИ, М.: МИФИ, 2010.

8. Рвачев В.Л. Теория -функций и некоторые ее приложения.– Киев:Наукова думка, 1982, 535 с.

9. Бутенков С.А. Развитие парадигмы интеллектуального анализа многомерной информации применительно к теории информационной грануляции // В сб. трудов IV Международного научно-практического семинара “Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте”, Коломна, 28-30 мая 2007 г., т.1, с. 188-194.