Технические науки/12. Автоматизированные системы управления на производстве

К.т.н. Егиазарян Г.Г., Уликян А.Т., Манукян В.Г.

Государственный инженерный университет Армении

Проектирование регуляторов для простых симметричных систем автоматического регулирования

В работе предлагается методика выбора матричного регулятора для простых симметричных систем автоматического регулирования.

Рассмотрим -мерную линейную многомерную систему на рис. 1, где - передаточная матрица объекта регулирования размера , а - передаточная матрица регулятора того же размером.

Рис. 1. Матричная структурная схема линейной МСАР.

Допустим, передаточная матрица является простой симметричной, т.е. передаточные функции всех диагональных элементов одинаковы и, в дополнение, все передаточные функции недиагональных элементов также одинаковы [1, 2]. Если обозначить через диагональные элементы, а через все остальные элементы, то простая симметричная матрица может быть записана в следующем виде:

(1)

Простые симметричные матрицы вида (1) являются частным случаем циркулянтных матриц, в которых каждая последующая строка повторяет предыдущую при сдвиге всех элементов (кроме -го) на одно место вправо, а последний элемент предыдущей строки становится первым элементом следующей [1].

Как известно [1, 2], характеристические передаточные функции (ХПФ) циркулянтных матриц при любом числе каналов могут быть представлены через элементы первой строки в аналитической форме [1, 2]:

. (2)

В простой симметричной матрице (1) выполняются следующие условия:

(3)

Подставив (3) в общее выражение (2) для ХПФ циркулянтных матриц , после несложных преобразований получим:

(4)

и

. (5)

Таким образом, передаточная матрица простого симметричного объекта регулирования имеет при любом числе каналов только две различные одномерные характеристические системы, где функции (4) часто называют передаточными функциями усредненного движения, а все остальные функции () (5) – относительного движения [1, 2]. В соответствии с рекомендациями данными в [3], если объект регулирования описывается простой симметричной матрицей (1), то в качестве регулятора целесообразно использовать регулятор, передаточная матрица которого также является простой симметричной, т.е. имеет вид (1), где передаточные функции и следует заменить на и . ХПФ матрицы при этом будут иметь вид

(6)

и

, (7)

а ХПФ разомкнутой скорректированной системы запишутся в виде

. (8)

Из выражений (6), (7), после несложных преобразований имеем следующие простые выражения:

. (9)

Таким образом, проектирование матричного регулятора для простой симметричной системы произвольной размерности фактически сводится к расчету двух обычных одномерных систем стандартными методами.

Пример. В последние годы в различных технических системах большое применение получили так называемые гексаподы [1, 2], системы управления которых описываются простыми симметричными матрицами размера . Иными словами, гексаподы как объекты регулирования относятся к простым симметричным системам. Выберем передаточные функции и элементов матрицы в виде:

.

ХПФ усредненного и относительного движений при этом имеет вид:

, . (10)

Можно показать, что устойчивость рассматриваемой системы без коррекции определяется ХПФ относительного движения. Выберем теперь такой регулятор, при котором ХПФ усредненного движения скорректированной системы останется без изменения, т.е. будет совпадать с ХПФ (10), а коррекция ХПФ относительного движения будет определяться интегро-дифференциальной передаточной функцией

. (11)

Передаточная функция (11) рассчитана на основе известных стандартных методов исходя из условия повышения запасов устойчивости по амплитуде и фазе характеристических систем относительного движения до значений дб и . Подставив и выражение для (11) в (9), получим

, (12)

Характеристические годографы скорректированной системы с передаточными функциями матричного регулятора и (122) показаны на рис. 2, где более тонкие линии соответствуют годографам и .

Рис. 2. Характеристические годографы скорректированной системы.

Литература:

1. Gasparyan O.N. Linear and Nonlinear Multivariable Feedback Control: A Classical Approach, John Wiley & Sons, UK, 2008, 356 P.

2. Гаспарян О.Н. Теория многосвязных систем автоматического регулирования, ГИУА, Ереван, Изд-во «Асогик», 2010, 380 с.

3. Гаспарян О.Н., Егиазарян Г.Г., Уликян А.Т. К выбору матричных регуляторов многомерных циркулянтных систем автоматического регулирования//Информационные Технологии и Управление, 2011, № 4.