Технические науки/12. Автоматизированные
системы управления на производстве
К.т.н. Егиазарян
Г.Г., Уликян А.Т., Манукян В.Г.
Государственный
инженерный университет Армении
Проектирование многомерных циркулянтных систем
автоматического регулирования
В работе предлагается методика выбора
матричного регулятора для циркулянтных многомерных систем автоматического
регулирования (МСАР). Рассмотрим -мерную (т.е. имеющую
входов и
выходов) линейную
МСАР на рис. 1, где
- передаточная
матрица объекта регулирования размера
, а
- передаточная
матрица регулятора, также имеющая размер
.
Рис. 1. Матричная структурная схема линейной МСАР.
Допустим, матрица является
циркулянтной, т.е. каждая последующая строка
повторяет предыдущую
при сдвиге всех элементов (кроме
-го) на одно место вправо, а
-ый элемент предыдущей строки становится первым элементом
следующей [1, 2]. Матрица
при этом выглядит
следующим образом:
. (1)
Физически структура матрицы (1) означает, что в циркулянтных
МСАР (ЦМСАР) можно выделить подсистемы, имеющие одинаковые передаточные функции
всех взаимных связей, т.е. обладающие внутренней симметрией. ЦМСАР составляют
важный класс многомерных систем, особенно широко распространенных в различных
технологических процессах [1, 2, 4].
Легко видеть, что любая циркулянтная
матрица полностью определяется её первой строкой. Воспользовавшись принятыми в
(1) обозначениями
для элементов первой
строки
, последнюю можно записать в виде следующего матричного
полинома:
,
(2)
где - единичная матрица,
а
(3)
есть ортогональная матрица перестановок [1, 2].
Собственные значения матрицы
при любом
равны:
(4)
Характеристические передаточные функции (ХПФ) матрицы
(1) при любом числе
могут быть
представлены в аналитической форме [1]:
(5)
а матрица при этом может быть
представлена в каноническом виде
, (6)
где матрица составлена из
собственных векторов
матрицы
(3).
В научно-технической литературе
описываются различные подходы к выбору матричной коррекции линейных МСАР [4]. В
случае, когда объект регулирования МСАР описывается циркулянтной передаточной
матрицей (1), в качестве
матричного регулятора
целесообразно
использовать регулятор, передаточная матрица которого также является
циркулянтной , т.е. может быть представлена в виде
, (7)
где
обозначают элементы
первой строки циркулянтной матрицы
, а
- ХПФ матрицы
, имеющие вид
(8)
С учетом (6) и (7), для передаточной
матрицы разомкнутой ЦМСАР имеем
следующее каноническое представление:
(9)
где
(10)
есть ХПФ разомкнутой скорректированной ЦМСАР, которые,
основываясь на (5) и (8), могут быть представлены в аналитическом виде.
Структурная схема одномерных характеристических систем ЦМСАР с циркулянтным
матричным регулятором показана на рис. 2.
Рис. 2. Структурная схема одномерных характеристических
систем скорректированной ЦМСАР .
Итак, при вводе в ЦМСАР циркулянтного
матричного регулятора, ХПФ разомкнутой
скорректированной системы имеют простой вид (10), т.е. соответствуют
передаточным функциям
обычных линейных систем
регулирования с одним входом и выходом. Это дает возможность существенно
приблизить методику проектирования ЦМСАР произвольной размерности к
классическим методам проектирования одномерных систем [3]. При этом следует
указать, что одной из основных задач при практическом расчете циркулянтного
регулятора является нахождение рациональных передаточных функций
по заданным «желаемым»
ХПФ
(8). Наконец,
отметим, что описанный подход к выбору матричного регулятора непосредственно
переносится на случай антициркулянтных многомерных систем [1, 2], свойства и структурные
особенности которых полностью аналогичны свойствам и особенностям ЦМСАР.
Литература:
1. Gasparyan O.N. Linear and Nonlinear Multivariable Feedback
Control: A Classical Approach, John Wiley & Sons, UK, 2008, 356 P.
2. Гаспарян О.Н. Теория
многосвязных систем автоматического регулирования, ГИУА, Ереван, Изд-во
«Асогик», 2010, 389 с.
3. Бесекерский В.А.,
Попов Е.П. Теория систем автоматического
регулирования, М.: Наука, 2003, 560 с.
4. Skogestad S. and
Postlethwaite I. Multivariable Feedback
Control. Analysis and Design. John Wiley and Sons Ltd., Chichester, Sussex,
UK, 2005, 595 P.