Технические науки/12. Автоматизированные системы управления на производстве

К.т.н. Егиазарян Г.Г., Уликян А.Т., Манукян В.Г.

Государственный инженерный университет Армении

Проектирование многомерных циркулянтных систем

автоматического регулирования

В работе предлагается методика выбора матричного регулятора для циркулянтных многомерных систем автоматического регулирования (МСАР). Рассмотрим -мерную (т.е. имеющую входов и выходов) линейную МСАР на рис. 1, где - передаточная матрица объекта регулирования размера , а - передаточная матрица регулятора, также имеющая размер .

Рис. 1. Матричная структурная схема линейной МСАР.

Допустим, матрица является циркулянтной, т.е. каждая последующая строка повторяет предыдущую при сдвиге всех элементов (кроме -го) на одно место вправо, а -ый элемент предыдущей строки становится первым элементом следующей [1, 2]. Матрица при этом выглядит следующим образом:

. (1)

Физически структура матрицы (1) означает, что в циркулянтных МСАР (ЦМСАР) можно выделить подсистемы, имеющие одинаковые передаточные функции всех взаимных связей, т.е. обладающие внутренней симметрией. ЦМСАР составляют важный класс многомерных систем, особенно широко распространенных в различных технологических процессах [1, 2, 4].

Легко видеть, что любая циркулянтная матрица полностью определяется её первой строкой. Воспользовавшись принятыми в (1) обозначениями для элементов первой строки , последнюю можно записать в виде следующего матричного полинома:

, (2)

где - единичная матрица, а

(3)

есть ортогональная матрица перестановок [1, 2]. Собственные значения матрицы при любом равны:

(4)

Характеристические передаточные функции (ХПФ) матрицы (1) при любом числе могут быть представлены в аналитической форме [1]:

(5)

а матрица при этом может быть представлена в каноническом виде

, (6)

где матрица составлена из собственных векторов матрицы (3).

В научно-технической литературе описываются различные подходы к выбору матричной коррекции линейных МСАР [4]. В случае, когда объект регулирования МСАР описывается циркулянтной передаточной матрицей (1), в качестве матричного регулятора целесообразно использовать регулятор, передаточная матрица которого также является циркулянтной , т.е. может быть представлена в виде

, (7)

где обозначают элементы первой строки циркулянтной матрицы , а - ХПФ матрицы , имеющие вид

(8)

С учетом (6) и (7), для передаточной матрицы разомкнутой ЦМСАР имеем следующее каноническое представление:

(9)

где

(10)

есть ХПФ разомкнутой скорректированной ЦМСАР, которые, основываясь на (5) и (8), могут быть представлены в аналитическом виде. Структурная схема одномерных характеристических систем ЦМСАР с циркулянтным матричным регулятором показана на рис. 2.

Рис. 2. Структурная схема одномерных характеристических

систем скорректированной ЦМСАР .

Итак, при вводе в ЦМСАР циркулянтного матричного регулятора, ХПФ разомкнутой скорректированной системы имеют простой вид (10), т.е. соответствуют передаточным функциям обычных линейных систем регулирования с одним входом и выходом. Это дает возможность существенно приблизить методику проектирования ЦМСАР произвольной размерности к классическим методам проектирования одномерных систем [3]. При этом следует указать, что одной из основных задач при практическом расчете циркулянтного регулятора является нахождение рациональных передаточных функций по заданным «желаемым» ХПФ (8). Наконец, отметим, что описанный подход к выбору матричного регулятора непосредственно переносится на случай антициркулянтных многомерных систем [1, 2], свойства и структурные особенности которых полностью аналогичны свойствам и особенностям ЦМСАР.

Литература:

1. Gasparyan O.N. Linear and Nonlinear Multivariable Feedback Control: A Classical Approach, John Wiley & Sons, UK, 2008, 356 P.

2. Гаспарян О.Н. Теория многосвязных систем автоматического регулирования, ГИУА, Ереван, Изд-во «Асогик», 2010, 389 с.

3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования, М.: Наука, 2003, 560 с.

4. Skogestad S. and Postlethwaite I. Multivariable Feedback Control. Analysis and Design. John Wiley and Sons Ltd., Chichester, Sussex, UK, 2005, 595 P.