1 Дифференциальные и интегральные уравнения /5. Математическое  моделирование

 

к.ф.-м.н.  Полетаев Г.С.

Одесская государственная академия строительства и архитектуры, Украина

УРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ НИЖНИХ  ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ И ПРОЕКТОРАМИ НА ПОДКОЛЬЦА      

                                                               

Предмет  рассмотрения  и  вводные  положения

   Уравнения-модели, рассматриваемые ниже и аналогичные им, это такие уравнения , которые при  определенной трактовке  известных и неизвестных  могут выражать  взаимосвязь  заданных и искомых элементов в прикладной или теоретической задаче. В  том числе, это  абстрактные уравнения относительно  квадратной матрицы U, допускающие  запись в виде:

                                                           ,                                                                         (1)

где  - нижняя треугольная матрица. Уравнения вида (1) и родственные им возникают, в частности,  при изучении специальных новых задач механики для совокупностей одинаковых по геометрическим и физическим характеристикам тел. Они возникают также при исследовании общих видов, обнаруженных сравнительно недавно, одночленных однопроекторных второго порядка уравнений в кольце с факторизационной  парой [1-6]. Абстрактные уравнения из работы [1] связывают уравнения (1) с интегральными типа Винера-Хопфа [7,1].

                                                       1. Обозначения, постановка задачи

1.1. Следуя [3] (ср.[4]; см. также [5,6]), обозначим  кольцо вещественных числовых  квадратных матриц размера , , . Пусть ,  - подкольца нижних и верхних треугольных матриц из , соответственно. Через ,  обозначим [1,2,4-7] коммутирующие проекторы , , соответственно, которые каждой матрице  ставят в соответствие матрицы , , получающиеся из  заменой её элементов, расположенных для  ниже, а для  выше главной диагонали,- нулями. Положим [1,2,4-6] ; ; ; ,  . Легко видеть, что , . Результат применения введенных проекторов к матрицам, а также принадлежность матрицы из  подмножеству ,             будем отмечать  знаками +, -, 0, соответственно.

1.2. В уравнениях (1) относительно неизвестной квадратной  матрицы-возмущения  U    , обеспечивающей наперед заданное матричное слагаемое –треугольную  матрицу  , по предположению, матрица – коэффициент ; - матрица , а  также матрица  в правой части считаются известными, причем - неособенной; , . Задача разрешимости уравнения (1), рассматриваемого в связи с такого рода «задачами обеспечения наперед заданного  матричного слагаемого  , в прообразе соответствующего оператора , определяемого левой частью уравнения (1) », заключается в отыскании всех удовлетворяющих (1) матриц –возмущений U  . Указанная матрица- возмущение в соответствующей прикладной задаче  может моделировать своеобразную совокупность  «управляющих элементов ».

2. Факторизация

Важную роль [2,6] при построении формул, для матриц – решений  уравнений  вида (1) играют нормированные правильные факторизации по факторизационной паре (, ), а именно, разложения матриц ,  на обратимые в соответствующих подкольцах ,   треугольные и диагональный множители [1 - 8]:           

                                                 ,                                                                                              (2)

                                                 ,                                                                                             (3)

                                                                                       (4)

;;;, . Нормирование осуществляется условием:,  где  - единичная матрица из .

3.  Формула для матрицы-возмущения  уравнения (1)

3.1. Если задача состоит в решении уравнения (1) относительно  матрицы U , непосредственно, или это уравнение (1) появилось в прикладной задаче, как уравнение – модель, связывающее моделируемую заданной матрицей  совокупность величин с моделируемыми  матрицами ,  ,    совокупностями известных и неизвестных, возникает вопрос о разрешимости этого уравнения . Следствием действия проектора является неприменимость к уравнениям вида (1) широко  известных методов решения , непосредственно.  Вместе с тем, справедливо следующее.

3.2. Пусть , ,  и . Если, кроме того, все последовательные главные миноры матрицы  отличны от нуля, то в силу определений [1,2] и теоремы о разложении матрицы на треугольные множители ([8], С. 50; теорема 2 при ) имеется нормированная правильная левая факторизация [1,2,4]:  ,  где  - нижняя треугольная матрица такая, что ;  - единичная матрица размера ;  - диагональная, а  - верхняя треугольная матрица и . При этом  - обратимы в своих подкольцах , , , соответственно. Из существования такой факторизации (2) для  обратной матрицы  вытекает, непосредственно, существование и нормированной правильной правой факторизации матрицы  A  (3). Для фактического построения левой нормированной правильной факторизации (2) могут быть полезны соответствующие результаты  [8], С. 50 – 52;  и другие результаты, в том числе, из [3,4].Применяя результаты из [1,2], заключаем, что справедлива следующая

        Теорема. Пусть матрица – коэффициент уравнения (1) ; ,  неособенная и все последовательные главные миноры обратной матрицы  отличны от нуля. Тогда, как бы ни были выбраны матрица _и нижняя треугольная матрица , после этого выбора , при любой правой части- матрице  , матрица –возмущение  уравнения (1) с проектором и возмущением нижней треугольной матрицы   в  определяется уже однозначно. Эта матрица-возмущение  представима  формулой :

                           .                                                                        (5)

                                                                 

         При  соответствующих условиях  для уравнения :

                                                        ,                                                                       (6)

 в абстрактном кольце с факторизационной парой имеет место подобный общий результат. Среди реализаций  уравнения (6) в конкретных кольцах с факторизационными парами имеются ,кроме матричных уравнений с проектором (1) , также соответствующие интегральные уравнения типа  Винера-Хопфа. В задачах с уравнениями – моделями вида (1) по формуле (5) можно найти  искомые  величины, моделируемые матрицами .

1.Полетаев Г.С. Об уравнениях и системах одного типа в кольцах с факторизационными парами. – Киев, 1988. – 20 с. – (Препринт / АН УССР. Институт математики:88.31).

2.Полетаев Г. С. Об однопроекторных второго порядка уравнениях с правильно факторизуемыми коэффициентами в кольце с факторизационной парой // Вестник Херсонского гос. техн. университета. – 2000. - № 2 (8). – С. 191 – 195.

3.Полетаев Г.С. О постановках, матричных моделях некоторых обратных задач механики балок и представлениях факторизованных матриц влияния // Матем. моделир. в образовании, науке и промышленности. - С.-Пб.-2000.-С.146 - 148.

4.McNabb A., Schumitzky A. Factorization of Operators I: Algebraic Theory and Examples // J. Funct. Anal. – 1972. – 9, № 3. – Р. 262 – 295.

5.Полетаев Г.С., Солдатов Л.И. О задачах механики и уравнениях с неизвестной треугольной матрицей и проекторами // Совр. методы проектир. машин. Расчет, конструирование и технология изготовления / Сб. научн. труд. – Вып. 1. в 3-х т. – Т. 2 – Мн.: УП «Технопринт», 2002. – 477 с. – С. 244 – 249.

6.Полетаев Г.С., Солдатов Л.И. О моделировании некоторых задач механики матричными уравнениями с треугольными неизвестными // Нелинейная динамика механических и биологических систем / Межвуз. научн. сб. Сарат. гос. техн. ун. – т., вып. 2. – Саратов, 2004. – С. 133 – 136.

7.Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи мат. наук. – 1958. – 13, вып. 5. – С. 3 – 120.

8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 549 с.