Математика/ 4 Прикладная математика

К.т.н. Шотиков А.В.

Харьковский национальный технический

университет сельского хозяйства им. Петра Василенко

Определение коэффициентов искажения в аксонометрии по заданным осям и аксонометрическим масштабам

Данная задача имеет как теоретическое, так и практическое значение, особенно при использовании нестандартных аксонометрических проекций и решается, как правило, с использованием методов проективной геометрии. Ниже предлагается сравнительно простой способ её решения, базирующийся на методах начертательной геометрии.

Если в пространстве задать окружность произвольного диаметра так, чтобы она расположилась в плоскости, перпендикулярной направлению аксонометрического проецирования, то ее аксонометрическая проекция, построенная с учетом приведенных коэффициентов искажения, будет представлять эллипс, подобный действительному. Но так как малая ось действительного эллипса равна диаметру выбранной окружности, то отношение малой оси подобного эллипса к диаметру указанной окружности есть коэффициент подобия, т.е. масштаб аксонометрического изображения [1]. Определив таким образом масштабный коэффициент M, можно определить действительные коэффициенты искажения u, v, w по осям:

, , . (1)

Рассмотрим графический способ решения поставленной задачи. Построим на комплексном чертеже оси х_1,2, у₁ и z₂, а на аксонометрическом – произвольную систему координат О'х'у'z'. (рис.1, рис.2). Выберем три аксонометрических масштаба по осям e'_х, e'_у, e'_z. Для удобства построения примем их значения в условных единицах длины, равными: е'_х=4; е'_у= 5; е'_z=6.

Зададим также масштабный отрезок =4, соответствующий в некоторой, пока еще неизвестной пропорции, натуральному масштабу е .

Используя значения аксонометрических масштабов и масштабного отрезка, определим приведенные коэффициенты искажения u', v', w' по осям x', y' и z' соответственно:

, , . (2)

Далее зададим в любом месте аксонометрического чертежа проецирующий луч s. Это будет точка S', которую для упрощения построений выберем на оси х' (рис. 2). Построим этот луч на комплексном чертеже. Для этого через проекцию s' проецирующего луча s проведем две проецирующие плоскости Σ(Σ') и Λ(Λ') параллельно аксонометрическим осям у' и z', соответственно. Плоскость Σ параллельна оси у , а поэтому она может быть построена на комплексном чертеже по двум точкам K и М – точкам пересечения плоскости Σ(Σ´) с аксонометрическими осями х´ и z´. Для этого необходимо на рис. 2 измерить аксонометрические отрезки О´К´, О´М´ и поделить их значения на приведенные коэффициенты искажения u´ v´ соответственно. В результате получим значения координат Хк и Z_М, по которым построены точки К(К₁,К₂) и М(М₁,М₂), определяющие проекцию Σ₂ фронтально проецирующей плоскости Σ. Аналогично строим точку L и, соответственно, проекцию Λ₁ горизонтально проецирующей плоскости Λ. Пересечение плоскостей Σ(Σ₁) и Λ(Λ₂) определяет проекции s₁, s₂ проецирующего луча s (рис.1).

Выберем на луче s(s₁,s₂) произвольную точку () и проведем через нее плоскость Δ(Δ₁,Δ₂) перпендикулярно лучу s. Преобразуем эту плоскость в проецирующую Δ(Δ₅), как показано на рис. 1.

Далее на проекции Δ₅ плоскости Δ задаем проекцию m₅ окружности m произвольного диаметра d с центром в точке . Проекцией этой окружности на плоскости П₂ будет эллипс m(m₂) с осями АВ(А₂В₂) и СD(С₂D₂). На плоскости П₁ они представляют сопряженные диаметры А₁В₁ и С₁D₁ эллипса.

Следующим этапом решения задачи является построение проекции m´ окружности m в системе аксонометрических осей х´, у´, z´. Для этого достаточно найти проекции двух взаимно перпендикулярных диаметров АВ и СD окружности m, которые изобразятся на плоскости П´ сопряженными диаметрами А´В´ и С´D´ (рис. 2). Указанные диаметры можно построить по двум точкам А´ и С´. Для этого на рис. 1 измеряем координаты этих точек и перемножаем их на соответствующие коэффициенты искажения по осям u´, v´, w'. В результате получим значение аксонометрических координат, по которым строим их аксонометрические проекции А' и С´, как показано на рис. 2. Точки В´ и D' симметрично точкам и относительно .

Используя графический способ построения осей эллипса по его сопряженным диаметрам найдем его большую ось G´I´ и меньшую ось E´F´.

Для определения масштаба M аксонометрического изображения по отношению к ортогональному чертежу необходимо вычислить отношение величин малой оси E'F' эллипса m' к диаметру d окружности m. Произведя соответствующие измерения, получим:

. (3)

Из выражения (1) определим действительные коэффициенты u, v, w по осям и значение натурального масштаба e:

, , ,

(4)

Предложенный способ решения задачи имеет некоторую аналогию со способом, описанным в [1], однако в последнем необходимо построить четыре эллипса, что достаточно сложно, а результат имеет малую точность. В нашем случае этого не требуется, а показанные на рис. 1 и рис. 2 эллипсы необходимы лишь для наглядности предложенного решения.

Литература.

1. Н.Ф.Четверухин, В.С.Левицкий и др. Начертательная геометрия. Государственное издательство «Высшая школа», М.-1963