Шилинец В. А., Пекарчик Д. И., Хомич И. И.
Белорусский государственный педагогический университет
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ФОРМАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
В настоящей работе используются бикомплексные функции,
моногенные в смысле В.С. Федорова, для построения решений следующей системы
дифференциальных уравнений в формальных производных:
(1)
где − известные
(искомые) комплексные функции от
. Все функции, рассматриваемые в данной работе, предполагаем
непрерывно дифференцируемыми функциями действительных переменных
в некоторой односвязной
области
. Всюду через
обозначаем две такие
комплексные функции, для которых
в рассматриваемой
области. Операторы
и
определяются
следующим образом:
,
.
Для всякой бикомплексной непрерывно дифференцируемой
функции вводим следующие
дифференциальные операторы:
,
(2)
.
Легко доказать, что для этих операторов имеют место
обычные правила дифференцирования суммы, произведения и частного. Кроме того
имеем:
. (3)
Теорема 1. В случае
(4)
(5)
система (1) приводится к виду
, (6)
где
,
,
,
.
Доказательство. Из определения дифференциальных операторов (2) и из
(1) и (5) следует, что
откуда в случае (4) приходим к уравнению (6).
Теорема 1 доказана.
Найдем общее решение уравнения (6), где − неизвестная бикомплексная функция,
− известные бикомплексные функции, причем предполагаем,
что
и
− моногенные в смысле В.С.Фёдорова функции по функции
в области
.
Полагаем
.
При этом имеем: − моногенная в смысле В.С.Фёдорова функция по функции
;
, (7)
где − производная в смысле В.С.Фёдорова;
.
Уравнение (6) примет вид
,
откуда и из (7) получим
. (8)
Полагая , имеем
.
Из (8) получим
. (9)
По определению , откуда
.
Из последнего равенства имеем: если − функция, моногенная в смысле В.С.Фёдорова по функции
, то
− также моногенная функция по
в области
, причем
.
Следовательно, есть функция,
моногенная в смысле В.С.Фёдорова по функции
в области
.
Из (9) получим
,
т.е.
,
где − моногенная по
в области
функция.
Таким образом,
,
где
,
,
,
− моногенная в
области
по функции
функция.
Замечание. Пусть в уравнении (6) и
− некоторые постоянные. Тогда полагаем
.
Уравнение (6) примет вид
. (10)
Полагаем , тогда
.
Из (10) имеем
,
откуда
.