ИЗОМОРФИЗМ КЛАССОВ БЕСОВА
НА ДВОИЧНОЙ ГРУППЕ.
Бокаев Нуржан Адилханович, Игенберлина Алуа Еркиновна.
Для классических пространств
Бесова понятия нулевых классов 
, изоморфизмы 
для разных 
, были установлены в работах Кальдерона, Ароншайна,
Тэйблсона, Никольского. Предложенная в данной работе теорема
дает представление функций класса 
через свертку ядра 
с функциями класса 
на двоичной группе.
Классическая
система функций Уолша 
на полуинтервале [0,1) определяется следующим образом. Рассмотрим так называемую
систему функций Радемахера 
:
,
-всевозможные сжатия функции 
, продолженной
периодически на всю ось, в 
раз. Положим 
Чтобы определить 
для 
, представим натуральное число 
в двоичном виде
,
где 
или 1, 
. Тогда положим
.
Полуинтервалы вида:
будем называть двоичными интервалами 
го ранга. Они задают разбиение полуинтервала 
:
,
при этом 
. Произвольный интервал ранга 
обозначим через 
.
Через 
oбозначим
ядро Дирихле по системе 
.
Пусть
. Рассмотрим ряд Фурье-Уолша функции 
~ 
где 
-коэффициенты Фурье-Уолша.
Прямоугольные
частичные суммы ряда Фурье-Уолша порядка 
обозначим:
Пусть 
- семейство функций
на 
таких, что
, 
,
где
- характеристическая
функция множества 
.
Пусть 
.
Через 
обозначим множество
функций 
для которых
,
где * есть двоичная свертка:
.
Такое множество назовем
пространством Бесова на двоичной группе 
.
Пусть
Назовем сверткой двух функций
ряд
.
Введем следующий специальный ряд:
,
где 
старший показатель в двоичном разложении 
…, 
.
Рассмотрим оператор
и 
назовем его ядром.
Определение 1. Функция 
называется регулярной
в смысле 
, 
, если для некоторого 
.
Определение 2. Пусть 
.
Будем говорить, что 
принадлежит нулевому
классу 
, если 
регулярна в смысле
и её ряд Фурье-Уолша таков, что
.
Теорема. Пусть 
. Оператор
,
осуществляет изоморфизм
.
Доказательство: Пусть
, тогда, регулярная в смысле 
, функция представима в виде:
, (1)
где
.
Докажем, что 
. Согласно регулярности в смысле 
, функция 
разлагается в ряд
. (2)
Из
определения оператора 
.
Тогда
.
Далее
.
Следовательно
.
И обратно, пусть 
, для которого верно разложение (2) и
.
Для 
существует разложение
(1) и
.
Следовательно
.