Чиркова Л.Н., к.п.н.

Вятский Государственный Университет, Россия

Некоторые свойства верхнего и нижнего пределов функций

Напомним понятие верхнего предела функции f(x). Пусть точка x₀ – предельная точка области определения функции f(x). Число а – верхний предел функции f(x) при (обозначается символом ), если выполняются следующие условия:

1) : и ;

2) , , : .

Если в любой проколотой окрестности точки x₀ функция принимает как угодно большие положительные (отрицательные) значения, то по определению полагаем: (). Аналогично вводится понятие нижнего предела функции.

Согласно [1, с. 38-40], воспроизведем некоторые свойства верхнего и нижнего пределов функций. Считаем, что x₀ является предельной точкой пересечения областей определения рассматриваемых функций f(х) и g(х).

Кроме того, исключаем случаи, когда верхние и нижние пределы образуют какие-либо неопределенности (, , , ), поскольку для «раскрытия неопределенности» недостаточно знать лишь верхние (нижние) пределы функций f(х) и g(х), а нужно учесть и самый закон их изменения. Для примера рассмотрим частное и пусть обе функции – верхние бесконечно малые при (о верхнем пределе их отношения, не зная самих этих вариант, никакого общего утверждения сделать нельзя). Пусть и . Обе функции являются верхними бесконечно малыми при : и . Их отношение также является верхней бесконечно малой при . Если же, наоборот, и (по-прежнему обе функции – верхние бесконечно малые при ), верхний предел их отношения равен: . Наконец, если и (обе функции – верхние бесконечно малые при ), верхний предел их отношения равен: . Таким образом, верхний предел данного неопределенного выражения, в зависимости от частного закона изменения обеих переменных, может иметь различные значения.

Свойства верхнего и нижнего пределов функций

1) Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки x₀ и в данной точке имеет предел, равный а (,). Тогда это условие равносильно равенству а верхнего и нижнего пределов функции f(х) в точке x₀:

.

2) Пусть функции f(х) и g(х) определены в некоторой окрестности точки x₀. Справедливо утверждение: верхний предел в точке x₀ суммы функций f и g не превосходит суммы верхних пределов данных функций в этой в точке, т.е.

.

Если же одна из рассматриваемых функций в точке x₀ имеет обычный предел, то соотношение данное выполняется со знаком равенства:

.

Аналогично формулируется свойство и для нижнего предела суммы функций в данной точке: нижний предел в точке x₀ суммы функций f и g не меньше суммы нижних пределов данных функций в этой точке:

.

Последнее соотношение выполняется со знаком равенства, если одна из функций в точке x₀ имеет обычный предел: .

3) Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки x₀. Тогда верхний предел в данной точке функции −f(х) равен нижнему пределу в точке x₀ функции f(х), взятому со знаком «минус»: .

4) Пусть функции f(х) и g(х) определены в некоторой окрестности точки x₀. Верно утверждение: верхний предел в точке x₀ разности функций f(х) и g(х) не превосходит разности верхнего и нижнего пределов соответственно функций f(х) и g(х) в точке x₀: .

Если же одна из функций в точке x₀ имеет обычный предел, то последнее соотношение выполняется со знаком равенства:

.

5) Пусть функции f(х) и g(х) определены и неотрицательны в некоторой окрестности точки x₀. Верхний предел в точке x₀ произведения функций не превосходит произведения верхних пределов функций f(х) и g(х) в точке x₀:

.

Если же одна из функций в точке x₀ имеет обычный предел, то указанное соотношение выполняется со знаком равенства. Кроме того, аналогично формулируется свойство и для нижнего предела произведения функций в данной точке: нижний предел в точке x₀ произведения функций не меньше произведения нижних пределов функций f(х) и g(х) в точке x₀ (со знаком равенства, если одна из функций в точке x₀ имеет обычный предел):

.

6) Пусть функция f(х) определена и сохраняет постоянный знак в некоторой проколотой окрестности точки x₀. Справедливо утверждение: верхний предел в данной точке функции равен единице, деленной на нижний предел в точке x₀ функции f(х):

.

7) Пусть функции f(х) и g(х) определены и неотрицательны в некоторой окрестности точки x₀. Верхний предел в точке x₀ частного функций f(х) и g(х) не превосходит частного верхнего и нижнего пределов соответственно функций f(х) и g(х) в точке x₀:

.

Если же одна из функций в точке x₀ имеет обычный предел, то указанное соотношение выполняется со знаком равенства.

8) Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки x₀. Нижний предел данной функции в точке x₀ не превосходит ее верхнего предела в указанной точке: .

Литература:

1. Брайчев Г. Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005. 232 с.

2. Чиркова Л. Н. Понятие верхнего и нижнего пределов функций // Materiály XII mezinárodní vědecko-praktická conference «Vědecky průmysl evropského kontinentu − 2016»/ − Díl 11. Zemědělství. Geografie a geologie. Matematika: Praha. Publishing House «Education and Science» s.r.o. C.82-84.