АЛҒАШҚЫ ФУНКЦИЯ ҰҒЫМЫ ЖӘНЕ АНЫҚТАЛМАҒАН ИНТЕГРАЛДЫ ЕСЕПТЕУ ӘДІСТЕРІ

 

С. Д. Сариев,

 Ж.У.Туленова,

А.Ю.Қожахметова

                                                                                                  Қ. А.Ясауи атындағы ХҚТУ.

 

Резюме

В данной статье рассматривается эфиктивные методы понятия первообразной функции и неопределенного интеграла

                                              

                                               Summary

In this article is considered efficient methods of the notion of original  functions and rague integral

 

        Дифференциалдау мен интегралдау амалдары өзара кері амалдар. Функцияның алғашқы функциясын табу операциясын интегралдау деп атайды. 

Анықтама:  Кез келген  жиынында өзгеретін  үшін  теңдігі орындалса онда  функциясын  функциясының алғашқы функциясы дейді.

Алғашқы функция анықтамасын қолданып есептер шығаруға мысалдар қарастырайық:

1-есеп:

 функциясы  аралығында  функциясы үшін алғашқы функция болатынын көрсетейік.

 теңдігін қолдансақ:

мұндағы ;   дәлелдеу керегі осы болатын.

2-есеп:   функциясы үшін графигі  нүктесі арқылы өтетін алғашқы функцияны анықтаңыз.

Шешуі:   функциясы үшін алғашқы функция  болады.

Себебі       (1)  теңдікке  мәндерін қойып:

   теңдеуінен С мәнін анықтаймыз.

. Сонымен алғашқы функция  болады.

Анықтама:  функцияларының барлық алғашқы функцияларының жиынтығы   берілген функциясының анықталмаған интегралы деп аталады.

 

 

Мынадай түрде жазылады:

                                     (1)

Мұндағы - интегралдау белгісі, х –интегралдау айнымалысы, –ті интеграл таңбасы астындағы функция, ал  - интеграл таңбасы астындағы өрнек дейді,  - алғашқы функцияның жалпы түрі,  - кез келген тұрақты сан, -тің дифференциалы.

Есептерді шешуде  функциясы бойынша алғашқы функциялардың  жалпы түрін табу қойылады. –ты негізгі алғашқы функция дейді.

Анықталмаған интегралдың қасиеттері:

1. -тұрақты сан.

2.

3.

4.   [1].

 

Анықталмаған интегралдар кестесі:

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.    [2].

 

Интегралды табуда мынадай жағдайларды ескеру керек:

1. Интегралды табуды тікелей кестелік интегралды пайдаланып есептеуге болады.

2. Анықталмаған интегралдың қасиеттерін пайдалану нәтижесінде интегралды есептеуді бір немесе бірнеше кестелік интегралдарды есептеуге алып келуге болады.

3. Интеграл таңбасы астындағы функцияны түрлендіру және интеграл қасиеттерін пайдалану нәтижесінде бір немесе бірнеше интегралдар есептеуге тура келеді.

Егер  болса, онда  орындалады.

Мұнда  аргументі жаңа  аргументімен ауыстырылған. Интеграл берілген күйінде кестелік интегралға келмейтін кезде көптеген жағдайларда, интеграл астындағы өрнекті түрлендіру арқылы оны кестелік интегралға келтіруге болады. Мұндай жағдайда қандай түрлендіру жүргізу керек екенін білу қажет.

Егер интеграл  түрінде беріліп,  теңдігі орындалса, онда интегралды кестелік интегралға келтіруге болады, яғни

 

 

 

Енді мына  интегралды қарастырайық.

Интеграл астында тұрған түбірді дәреже түрінде жазсақ, онда . Жоғарғы мысалдарда көрсетілгендей  мұндағы - туынды алу ұғымын білдіреді. Осыдан . Сондықтан интегралды төмендегіше жаза аламыз: [3].

 

Есептің шығару жолдары:

№1. , есептеңіз.

Шешуі: Интегралды есептеуде таблицалық интегралды бірден пайдалануға болады. Мұнда . Сондықтан (3) формула бойынша:

 

 

№2.  есептеңіз.

Шешуі: Анықталмаған интегралдың 20 қасиетін және 3 формуланы пайдалансақ, онда

№3.  есептеңіз.

Шешуі: Берілген интеграл бірнеше интегралдардың қосындысына келеді. 20 қасиет және 3 формула бойынша:

[4].

 

 

№4.  есептеңіз

Шешуі: Кестелік интегралды ң 3 формуласын  пайдаланса болады. Сонда

№5.  есептеңіз.

Шешуі: Алдымен түбір қасиетін және кестелік интегралдың 3 формуласын пайдаланса болады. Сонда

№6.  есептеңіз.

Шешуі:  екендігі пайдаланылады және 6 формуланы ескерсек:

  (- тұрақты сан)

№7.  есептеңіз.

Шешуі: , осыдан  және 6 формула бойынша:

Ескерту:  әруақытта орындалатындықтан абсолют шама белгісі қойылмайды.

№8.  есептеңіз.

Шешуі: , осыдан . Сондықтан  6 формуланы қолдансақ:

.

№9.  есептеңіз.

Шешуі:  Кестелік интегралдың 15 формуласын пайдаланса болады.

№10.  есептеңіз.  Кестедегі 7 формула бойынша:

Шешуі: .

№11.  есептеңіз. Кестедегі 8 формуланы қолданамыз:

Шешуі: , осыдан . Сондықтан

№12.  есептеңіз. Кестедегі 10 формула бойынша:

Шешуі: , осыдан . Сондықтан

№13.  табыңыз. Кестедегі 14 формуланы қолдану арқылы шешеміз.

Шешуі: . Сондықтан

№14.  табыңыз. Кестедегі 18 формуланы қолданамыз.

Шешуі: .

Мысалдардағы пайдаланған негізгі заңдылық: функцияның айнымалысы мен дифференциал таңбасының астындағы өрнектің бірдей болуы. 

 

Мысалы: , мұндағы функция айнымалысы 3х, сондықтан кесте бойынша дифференциал таңбасы астында да 3х болуы керек, сонда  мұндағы . Сондықтан интеграл алдына  көбейткіш жазамыз. Сонда  

Тапсырмалар:                                       

1.y(x)=5sin–3e  функциясының алғашқы функциясын табыңыз

 

2.у(х)=6(10+7х)3 функциясының алғашқы функциясын табыңыз

 

 3.у= 8х3 –е2х функциясының алғашқы функциясын табыңыз

 

4.у(х)=е–2sinx функциясының алғашқы функциясын табыңыз

 

5.у(х)=ех/2 +sin2x функциясының алғашқы функциясын табыңыз

 

6.у(х)=е3х+1–cos(3x+l) функциясының алғашқы функциясын табыңыз

7.у(х)= х3+ функциясының алғашқы функциясын табыңыз

8.у(х)=х3+ функциясының алғашқы функциясын табыңыз

9.у(х) = х3–3х2+7х–1 функциясының алғашқы функциясын табыңыз

10.  функциясының алғашқы функциясын табыңыз [5].

 

Интегралды есептеңіз: 

1. , есептеңіз.                                  2.  есептеңіз.

3.  есептеңіз.                  4.  есептеңіз.

5.  есептеңіз.                                    6.  есептеңіз.

7.  есептеңіз.                               8.  есептеңіз.

9.  есептеңіз.                              10.  есептеңіз.

11.  есептеңіз.                             12.  есептеңіз.

13.  есептеңіз.                        14.  есептеңіз.

15.  есептеңіз.               16.  табыңыз.

17.  табыңыз.                  18.  табыңыз.

19.  табыңыз.                           20.   есептеңіз.     

21.  есептеңіз.                        22.  есептеңіз.                  

23.  есептеңіз.           24.  есептеңіз.                      

25.  есептеңіз [6].           

 

Пайдаланылған әдебиеттер:

 

1. Алгебра және анализ бастамалары. Әбілқасымова А., Бекбаев И.  және т.б. Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану – математика бағытындағы 11 сынып оқушыларына арналған оқулық. – Алматы: Мектеп, 2007. (110-115б)

2. П.А.Ларичев, «АЛГЕБРА есептерінің жинағы». (93-96б)

3. Анарбекова Ә, Бейсеков Ж, Назанов Ж. «Алгебрадан ҰБТ-ға дайындалуға арналған әртүрлі деңгейдегі тест тапсырмаларының жинағы».(25-29б)

4.Т. Тасболатова, Қ.С.Иманбаева, С.С.Зауырбеков, Қ.И.Қаңлыбаев, Н.Кәмет «Математика пәнінен тест тапсырмалары»  (114-119б)

5. Кабулова А.Р. Курс «МОРЗ» в методической подготовке будущего учителя математике в педвузе. Канд. Дисс., 1998 (81-87б)

6. Новик И.А. Практикум по методики преподования математики. Минск Высшая школла, 1984 (120-125б)