Математика/5. Математическое моделирование

Д.ф.-м.н. Байманкулов А.Т.

Костанайский государственный университет им.А.Байтурсынова, Казахстан

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЯ D(z)

Постановка задачи

В области изучается распространение влаги в ненасыщенной зоне. Математическая модель одномерной задачи описывается дифференциальным уравнением

. (1)

Начальные и граничные условия задаются в виде соотношений

, (2)

, (3)

. (4)

Для неустановившихся процессов движения воды используется численное решение задачи (1)-(4) методом конечных разностей .

Поскольку процесс нахождения решения является итерационным, то вопросы доказательства ограниченности и сходимости его становится обязательным. В ранних работах при получении априорных оценок для решения было получено следующее выражение

(5)

Суммируя выражение (5) по от до произвольного , получим

.

Из леммы 2 и леммы 4 следует, что

,

.

Поэтому

.

Если

, то

.

Из последнего следует двустороннее неравенство

-<.

Малая величина выбирается таким образом, чтобы имело место неравенство

.

Это означает, что

<<<<,

где константа зависит непрерывным образом от начальных данных прямой задачи (1)-(3). Полученные результаты можно записать в виде следующего утверждения.

Теорема. Если, то из равенства (5) вытекают соотношения

< < < <.

Литература:

1.Нерпин С.В., Юзефович Г.И. О расчете нестационарного движения влаги в почве// Доклады ВАСХНИЛ, № 6, 1966.

2.Юзефович Г.И., Янгарбер В.А. Исследование нелинейного уравнения влагопереноса. // Л.: Колос. Сб. трудов по агрофизике, вып. № 14, 1967.

3.Рысбайулы Б., Байманкулов А.Т., Маханбетова Г.И. Обратная задача кондуктивного распространения тепла в однородной среде // Вестник НАН РК, 2008, №1, ст. 11-13.