Математика / 5. Математическое моделирование

к.ф.-м. н. Калжанов М.У.

Костанайский государственный университет

имени А.Байтурсынова

Использование математических методов

в теории надежности

Теория надежности [1] – наука о методах обеспечения и сохранения надежности при проектировании, изготовлении и эксплуатации систем. Необходимым условием для моделирования системы элементов теории надежности является использование математических методов.

К количественным показателям надежности элементов и систем относятся:

- коэффициент надежности R_г;

- вероятность безотказной работы в течение определенного времени P(t);

- средняя наработка до первого отказа Т_ср для невосстанавливаемых систем;

- наработка на отказ t_ср для восстанавливаемых систем:

- интенсивность отказов λ(t);

- среднее время восстановления τ_ср ;

- интенсивность восстановления μ(t);

- функция надежности R_г (t).

Определения названных величин:

R_г – вероятность застать изделие в работоспособном состоянии.

P(t) – вероятность того, что за заданный промежуток времени (t) система не откажет.

Т_ср – математическое ожидание времени работы системы до первого отказа.

t_ср - математическое ожидание времени работы системы между последовательными отказами.

λ(t) – математическое ожидание количества отказов в единицу времени; для простого потока отказов :

λ(t)= 1/ t_ср .

τ_ср – математическое ожидание времени восстановления системы.

μ(t) - математическое ожидание количества восстановлений в единицу времени:

μ(t) = 1/ τ_ср.

R_г (t) – изменение надежности системы по времени.

Системы для целей расчета надежности классифицируются по нескольким следующим признакам с использованием математического аппарата систем массового обслуживания (СМО)

- с периодическим обслуживанием – системы в которых мероприятия по обеспечению надежности реализуются только при проведении плановых ремонтно-профилактических работ через заранее установленные промежутки времени Т_о ;

- со случайным периодом обслуживания – системы, в которых мероприятия по обеспечению надежности реализуются через случайные промежутки времени;

В зависимости от способа «соединения» элементов в систему различают блок-схемы: а. последовательные (основное соединение); б. параллельное (резервированное соединение); в. комбинированное ( в блок-схеме имеет место и основное и резервированное соединение элементов); см. рис. 1.

а.

1

2

…..

n

б.	1
	2
	…..
	n

в.

			3
1				4	…	n
			3
	2	….
1				4	…	n
			3

Рис. 1. Структуры систем для целей расчета надежности.

Резервированными структурами системы называют такие, в которых отказ наступает при отказе всех или определенного количества элементов, составляющих систему.

Резервированные структуры могут быть с общим резервированием, резервированием группами элементов и с поэлементным резервированием (см. рис. 2, а., б., в.).

а.	1	2	3	4
	1	2	3	4

б.	1	2	3	4
	1	2	3	4

в.	1	2	3	4
	1	2	3	4

Рисунок 2. Варианты резервирования систем.

Как показывают экспериментальные данные, проведенные в различных областях техники, поток отказов и восстановлений является простейшим [2], т.е. обладает ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия.

Надежность сложных систем подчиняется, как правило, экспоненциальному закону, который характеризуется зависимостями:

- вероятность безотказной работы:

- функция распределения времени безотказной работы :

- плотность распределения времени безотказной работы:

Эти зависимости соответствуют простейшему потоку отказов и характеризуются константами:

- интенсивность отказов λ(t) = const;

- интенсивность восстановления μ(t) = const ;

- наработка на отказ t_ср = 1/λ(t) = const;

- время восстановления работоспособности τ_ср = 1/μ(t) = const .

Параметры λ(t), t_ср; μ(t) и τ_ср – получают в результате обработки вариационного ряда по хронометражным наблюдением за работой элементов и систем.

Коэффициент надежности элемента определяют по данным статистической обработки вариационных рядов по формулам:

или ( 1 )

а также по показателям интенсивности отказов и восстановления λ(t) и μ(t):

. ( 2 )

Характеристиками надежности элементов в техническом и технологическом отношениях являются коэффициенты технической r_тi и технологической r_ci надежности элементов. Надежность элемента определяется следующей зависимостью:

r_гi = r_тi ·r_ci . ( 3 )

Надежность основной системы (системы последовательно соединенных элементов) определяется при наличии только технических отказов зависимостью :

(4)

при равнонадежных элементах:

(5)

где n – количество последовательно соединенных элементов в системе;

При расчетах количественных показателей резервированных и комбинированных структур систем необходимо знать не только их надежность, но и ненадежность элемента; поскольку надежность r_i и ненадежность q_i элемента определяют сумма вероятностей, образующих полную группу, равную единице, то:

q_i =( 1 - r_i). (6)

Ненадежность резервированной системы (при параллельном соединении элементов) определяется как вероятность того, что все элементы системы отказали, т.е.:

(7)

Соответственно, надежность, определиться зависимостью:

(8)

Или, при равнонадежных элементах

, (9)

где m – количество резервных элементов.

Степень ( m + 1) при расчете надежности системы объясняется тем, что в системе один элемент обязателен, а количество резервных может меняться от 1 до m.

Надежность комбинированных резервированных систем с общим резервированием (системное резервирование) определяется зависимостью:

(10)

при равнонадежных элементах (следовательно, подсистем):

(11)

Надежность комбинированных систем с резервированием группами элементов определяется последовательно; вначале определяются надежности резервированных подсистем, потом – надежность системы последовательно соединенных подсистем.

Надежность комбинированных систем с поэлементным (раздельным) резервированием определяется последовательно; сначала определяются надежности блок-элементов (элемент, резервированный одним, двумя и т.д. до m элементов ), затем – надежность системы последовательно соединенных блок-элементов.

Надежность блок-элемента равна:

; (12)

Надежность комбинированной системы R_кj при поэлементном резервировании равна:

; (13)

или при равнонадежных элементах:

(14)

Литература :

1. Методы принятия технических решений : Пер. с нем.- Мушик Э., Мюллер П., М.: Мир, 1990. – 208 С.

2. Надежность и эффективность в технике : Справочник В 10 т. Т. 5 Проектный анализ отчетности / Под ред. В.И. Патрушева и А.И. Рембезы. М. Машиностроение , 1988.- 224 С.

3. Сборник задач по теории надежности .Половко А.М., Маликов И.М., Жигарев А.Н., Зарудный В.И. – М. : Советское радио , 1972 .- 408 С.