Аспирант кафедры математического анализа Кержаев А. П.

Чувашский государственный педагогический университет

им. И. Я. Яковлева, Россия

Деформированное состояние анизотропной кольцевой пластины при равномерном растяжении

 

Рассмотрим деформированное состояние анизотропной кольцевой пластины под действием равномерных растягивающих усилий. Материал предполагается упруго-идеальнопластическим, в пластической области имеет место трансляционная анизотропия. Напряженное состояние рассмотрено в работе [2].

Определим перемещение в пластической и упругой областях. Характер изменения деформированного состояния в процессе нагружения представляется следующим образом: вначале возрастают упругие деформации; затем, когда граница упругопластического состояния материала достигает некоторой области тела, процесс изменения упругих деформаций в ней переходит при дальнейшем возрастании нагрузок в пластическую деформацию.

Ранее в работе [3] была рассмотрена анизотропия по Мизесу-Хиллу.

В нулевом приближении полагаем .

Согласно [1] и [2] определим перемещение в упругой зоне. Будем считать материал несжимаемым, коэффициент Пуассона

                                       (1)

где E – безразмерный модуль упругости, отнесенный к пределу текучести .

В пластической зоне согласно [2] из ассоциированного закона имеем

                                                                    (2)

Для упругих деформаций имеют место соотношения

                                            (3)

На основе общей теории [2] из соотношений (3) находим

                                                                  (4)

Из общей теории деформации [1] имеем

                        (5)

Тогда из (5) в нулевом приближении получаем

                                                                            (6)

Далее, соотношения (2), (4), (6) позволяют найти компоненты перемещения в пластической области

                                                                  (7)

Условия сопряжения на упругопластической границе имеют вид

                                                                            (8)

Следовательно, в пластической области, с учетом условий сопряжения (8), из (1) и  (7) получаем

            (9)

Из (2), (4), (6) определяем

                      (10)

Рассмотрим первое приближение в упругой и пластической областях.

Для упругой области согласно общей теории [1] и [2] перемещения   в первом приближении равны

       (11)

где

В пластической зоне на основании [2] и ассоциированного закона имеют место следующие соотношения

                                                                  (12)

Подставляя в соотношения (12) выражения разложений по малому безразмерному параметру δ величин λ, σ, τ, получаем компоненты деформации в первом приближении

                                                  (13)

На основании общей теории [1] из (5), с учетом (3) и (13), получаем дифференциальные уравнения для определения перемещения в пластической области в первом приближении

              (14)

Из уравнений (14) определяются компоненты перемещения в пластической области в первом приближении

                  (15)

где

Из (11), (15) и условий сопряжения (8) определяются коэффициенты               и   . Таким образом, деформированное состояние полностью определено.

 

Литература:

1.    Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. – М. : Наука, 1978. – 208 с.

2.    Кержаев, А. П. Упругопластическое состояние тонкой кольцевой пластины при наличии  трансляционной анизотропии при равномерном растяжении / А. П. Кержаев // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. – 2012. – № 2 (12). – С. 95–101.

3.    Павлова, Т. Н. Упругопластическое состояние тонкой пластины из анизотропного материала, ослабленной отверстием под действием растягивающих усилий / Т. Н. Павлова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. – 2010. – № 2 (66). – С. 112–122.