Экономические науки / 8. Математические методы в экономике

Кушнер М.А.

Астраханский государственный технический университет, Россия

Основные временные параметры сетевого планирования и управления

Для объективного планирования процессов проекта важно знать не только структуру взаимосвязей работ и длительность выполнения процессов, но и конкретные сроки начала и окончания выполнения задач, возможные резервы времени, время наступления этапов проекта, а также относительные свойства работ графика. Для этого рассчитываются временные параметры сетевого графика, назначение и способ вычисления которых описаны ниже.

Основными временными параметрами сетевого графика будут являться характеристики событий. Ранний срок свершения события j (α_j) – наиболее раннее время свершения данного события относительно начала выполнения комплекса работ. Из определения ясно, что ранний cрок свершения первого события равен нулю, т.е. α₁ = 0. Чтобы вычислить α_j других событий, то необходимо для узла j определить узлы p, q, … , v, непосредственно связанные с узлом j работами (p; j), (q; j), … , (v; j), для которых уже вычислены ранние сроки свершения исходных для них событий. Поскольку имеем α₁ = 0, то можем последовательно вычислить каждый α_j по следующей формуле:

αj = мах {αр + Тpj, αq + Тqj, … , αv + Тvj}

(1)

Поздний срок свершения события j (β_j) – предельное по отношению к началу выполнения комплекса работ время свершения данного события, не влияющее на срок завершения проекта. Ясно, что самое раннее и самое позднее времена для завершения проекта совпадают, т.е. β_к = α_к, где к – количество узлов сети. Чтобы вычислить β_j других событий, то необходимо для узла j определить узлы p, q, … , v, непосредственно связанные с узлом j работами (j; p), (j; q), … , (j; v), для которых уже вычислены самые поздние времена наступления исходных для них событий. Поскольку мы имеем β_к = α_к, то можем последовательно вычислить каждый β_j по следующей формуле:

βj = min {βp – Tjp; βq – Tjq; … ; βv – Tjv}

(2)

Резерв времени события j (R_j) – временной параметр события, показывающий, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, при этом не вызывая увеличения срока выполнения комплекса работ. Вычисляется по формуле:

Rj = βj - αj

(3)

Как правило, исполнители проекта ориентируются на выполнение работ, которых на практике бывает гораздо больше, чем событий. Поэтому рассчитывается ещё одна группа временных характеристик, привязанных к работам. Отдельная работа может начинаться и оканчиваться в ранние и поздние возможные сроки. Возможно любое размещение работы в заданных интервалах, что используется различными техниками оптимизации.

Очевидно, что ранний срок начала работы (i; j) (T_рн (i; j)) совпадает с ранним сроком наступления начального события i, что соответствует следующему выражению:

Tрн (i; j) = αi

(4)

Тогда ранний срок окончания работы (i; j) (T_ро (i; j)) определяется по следующей формуле:

Tро (i; j) = αi + Тij

(5)

Ни одна работа не может окончиться позже позднего допустимого срока своего конечного события i. Поэтому поздний срок окончания работы (i; j) (T_по (i; j)) определяется следующим соотношением:

Tпо (i; j) = β j

(6)

Тогда поздний срок начала работы (i; j) (T_пн (i; j)) можно найти по следующей формуле:

Tпн (i; j) = βj - Тij

(7)

Большое значение для менеджера проекта имеет знание резервов, которыми располагают отдельные работы. В сетевом графике выделяют четыре вида резервов времени работ, причём анализ каждого из них имеет для руководителя свой смысл. Отметим, что резервами времени обладают только те работы, которые не принадлежат критическому пути.

Полный резерв работы (i; j) (R_п (i; j)) – максимальный запас времени, на который можно отсрочить начало или увеличить длительность работы без увеличения длительности критического пути. Полный резерв времени по отдельным работам позволяет маневрировать ресурсами с тем, чтобы наилучшим образом выполнить проект. Стопроцентное использование полного резерва одной работы может привести к полному или частичному исчерпанию резервов других работ, лежащих на одном пути с данной работой. Поэтому при использовании полного резерва времени обычно пересчитывают временные параметры сетевого графика для определения нового распределения резервов. Полный резерв работы вычисляется по формуле:

Rп (i; j) = βj - αi - Тij

(8)

Свободный резерв работы (i; j) (R_с (i; j)) – количество времени, на которое можно перенести начало работ или увеличить их продолжительность без изменения раннего начала последующих работ. Свободный резерв можно использовать на увеличение продолжительности данной работы и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ. Свободный резерв вычисляется по формуле:

Rс (i; j) = αj - αi - Тij

(9)

Гарантийный резерв работы (i; j) (R_г (i; j)) – часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока её начального события. Гарантийный резерв может быть использован на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ. Гарантийный резерв вычисляется по формуле:

Rг (i; j) = βj - βi - Тij

(10)

Независимый резерв работы (i; j) (R_н (i; j)) – количество времени, получаемое для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки. Независимый резерв может быть использован для увеличения продолжительности данной работы; вычисляется по следующей формуле:

Rн (i; j) = αj - βi - Тij

(11)

Если в результате вычислений резервов времени работ будет получено отрицательное число, то его следует заменить нулевым значением.

Помимо резервов времени работ в сетевом графике существует резерв времени пути (R (L_n)). Он показывает, насколько могут быть увеличены продолжительности работ, принадлежащих пути. Если увеличить выполнение работ, лежащих на этом пути, на большее время, чем R (L_n), то критический путь переместится на путь L_n. Резерв времени пути вычисляется по формуле:

R (Ln) = Ткр – Т (Ln)

(12)

Не менее пристальное внимание менеджера должно быть уделено относительным характеристикам временных параметров работ.

Для определения степени трудности выполнения в срок каждой работы можно использовать коэффициент напряжённости работы (i; j) (К_н (i; j)). Коэффициент напряжённости можно вычислить по формуле:

(13)

Коэффициент напряжённости может изменяться в пределах от 0 до 1. Чем ближе К_н к единице, тем сложнее выполнить данную работу в установленные сроки. Коэффициент напряжённости работ, принадлежащих критическому пути, всегда равен единице, поскольку данные работы обладают нулевыми резервами времени. Чем ближе К_н к нулю, тем большим относительным резервом обладает данная работа.

Коэффициенты напряжённости позволяют классифицировать работы по зонам. В зависимости от величины К_н выделяют три зоны: критическую (К_н > 0,8), подкритическую (0,6 ≤ К_н ≤ 0,8), резервную (К_н < 0,6).

Работы могут обладать одинаковыми полными резервами, но степень напряжённости их выполнения может быть различна. И наоборот, различным полным резервам могут соответствовать одинаковые коэффициенты напряжённости. Другими словами, следует учитывать, что больший полный резерв одной работы по сравнению с другой работой не обязательно свидетельствует о меньшей степени напряжённости её выполнения. Таким образом, коэффициент напряжённости является объективным инструментом менеджера при анализе временных параметров проекта [1].

Другим немаловажным показателем оценки временных параметров сетевого графика является коэффициент свободы работы (i; j) (К_с (i; j)). Данный коэффициент определяет степень свободы работ, имеющих независимый резерв, а также показывает, во сколько раз можно увеличить длительность работы, не влияя на сроки свершения всех событий и остальных работ сети. Коэффициент свободы вычисляется по следующей формуле:

(14)

Теоретически коэффициент свободы изменяется в пределах от 1 до бесконечности. Чем больше данный показатель, тем большей независимостью обладает данная работа. Работы, не обладающие независимым резервом, будут иметь коэффициент свободы, равный единице [2].

Описанные показатели (1) – (14) широко используются в рамках сетевого планирования и управления, их применение является обязательным при обосновании оптимизации процессов проектного менеджмента.

Литература:

1. Таха Х.А. Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 912 стр.: ил.

2. Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник. – 2-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2005. – 400 стр.