Компьютерная инженерия

К.т.н. Вирченко Г.А., Вирченко С.Г.

Национальный технический университет Украины

«Киевский политехнический институт»

Вирченко В.Г.

Национальный авиационный университет (г. Киев, Украина)

СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД КАК ОБОБЩАЮЩИЙ МЕТОД КОМПЬЮТЕРНОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Настоящее время характеризуется широким внедрением компьютерных информационных технологий во все сферы жизнедеятельности людей.

Особо эффективно использование указанных средств, например, в таких областях как наука, образование, медицина, техника.

В последнем случае важной составляющей применяемых систем автоматизированного проектирования выступают разнообразные методы геометрического моделирования.

В статье [1] приведен всесторонний анализ инженерных программных пакетов в аспекте компьютерного формообразования, выявлены современные тенденции их развития. Показана актуальность научно-технической проблемы совершенствования методологии и математических способов гибкого, высокопроизводительного и качественного автоматизированного моделирования сложных объектов.

Одним из направлений успешного решения таких задач можно считать структурно-параметрический подход, основные положения которого даны в [2].

Указанные приемы, для использования в машиностроении, подробно рассмотрены в публикации [3], где проанализированы как общие вопросы, так и приведены примеры практического характера из области авиастроения.

В работе [1] указывалось, что важными компонентами программного обеспечения инженерной графики являются не только системы авто-матизированного проектирования, такие как AutoCAD, CATIA, SolidWorks и пр., но и популярные математические пакеты MathCAD, MatLAB, Maple и т. д.

В приведенных выше литературных источниках первостепенное внимание уделено структурным нюансам геометрического моделирования технических объектов. Некоторым образом указанное положение исправлено в [4], где изложены отдельные особенности параметрического формообразования с помощью математических программных средств.

Первостепенная цель данной публикации состоит в обосновании обобщающей роли структурно-параметрического подхода по отношению к другим аналитическим методам видоизменения геометрических фигур.

В литературе [5, 6] указывается, что в этом плане основными преобразованиями являются:

- ортогональные, например, параллельный перенос, симметрия, поворот и т. д., не изменяющие расстояний (главный инвариант этих преобразований);

- аффинные, модифицирующие расстояния, но сохраняющие при этом параллельность прямых и плоскостей (ключевым инвариантом является простое отношение трех точек прямой);

- проективные, мощнее аффинных, поскольку не меняют лишь сложное отношение четырех точек прямой;

- топологические, трансформирующие длины, углы, площади, объемы, прямолинейность, но сохраняющие связность и размерность геометрических объектов. Суть этого способа моделирования заключается в свободном дефор-мировании фигур с запрещением только «разрывов» и «склеивания» их точек.

Покажем дальше, что параметрическое моделирование, как частный случай структурного, является обобщающим для приведенных выше преобразований.

Рассмотрим пример несвязного геометрического объекта (рис. 1, а), состоящего из двух топологически эквивалентных торовой поверхности компонентов, каждый из которых описывается нижеприведенной параметрической зависимостью, определяющей координаты радиус-вектора r_i точек фигуры в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz:

(1)

где iÎ{1; 2} – номер компонента; u, v – параметры кинематических изолиний, p_ki – формы, размеров и положения (p_1i=x_i, p_2i=y_i, p_3i=z_i).

В показанном на рис. 1, а случае: p₁₁=x₁=-2, p₂₁=y₁=-2, p₃₁=z₁=5, p₄₁=r₀₁=6, p₅₁=r₁₁=1,5, p₆₁=r₂₁=1,8, p₇₁=r₃₁=2, p₈₁=-p, p₉₁=p, p₁₀₁=0, p₁₁₁=2p, p₁₂=x₂=4, p₂₂=y₂=-3, p₃₂=z₂=-6, p₄₂=r₀₂=3,5, p₅₂=r₁₂=1, p₆₂=r₂₂=2, p₇₂=r₃₂=2,5, p₈₂=-p, p₉₂=p, p₁₀₂=0, p₁₁₂=2p.

Рис. 1. Этапы видоизменения геометрической фигуры

Модифицируя параметры положения второго компонента p₁₂=x₂=5,5, p₂₂=y₂=4,5, p₃₂=z₂=5, получаем фигуру, изображенную на рис. 1, б, которая, вследствие данных изменений, становится связной.

На рис. 1, в приведен следующий этап трансформации рассматриваемого геометрического объекта, превращающегося в эллипсоид после обнуления параметров первого компонента и присваивания p₄₂=r₀₂=0, p₅₂=r₁₂=4,5, p₆₂=r₂₂=4, p₇₂=r₃₂=3,5, p₁₁₂=p.

В заключение, рис. 1, г, сформирована дуга окружности применением p₄₂=r₀₂=4,5, p₅₂=r₁₂=0, p₆₂=r₂₂=0, p₇₂=r₃₂=0.

Таким образом, параметрическое геометрическое моделирование, являющееся элементом структурного, имеет удобные средства для произвольного перемещения и деформирования фигур, включая их разрывы и склеивания, а также изменение размерности. Поэтому его можно рассматривать как обобщение ортогональных, аффинных, проективных и топологических преобразований.

Литература:

1. Вірченко Г.А., Ванін В.В., Вірченко В.Г. Геометричне моделювання як одна з основних складових сучасних систем автоматизованого проектування // Прикл. геом. та інж. графіка. – Вип. 77. – К.: КНУБА, 2007. – С. 129-134.

2. Ванін В.В., Вірченко Г.А. Визначення та основні положення структурно-параметричного геометричного моделювання // Геометричне та комп’ютерне моделювання. – Вип. 23. – Харків: ХДУХТ, 2009. – С. 42-48.

3. Ванін В.В., Вірченко Г.А., Ванін В.В. Структурно-параметричні геометричні моделі як інваріантна складова комп’ютерних інформаційних технологій підтримки життєвого циклу виробів машинобудування // Прикл. геом. та інж. граф. – Вип. 4. – Т. 36. – Мелітополь: ТДАТА, 2007. – С. 16-21.

4. Вірченко Г.А. Комбіновані геометричні об’єкти на основі кривих і поверхонь // Прикл. геом. та інж. графіка. – Вип. 86. – К.: КНУБА, 2010. – С. 226-231.

5. Погорелов А.В. Лекции по аналитической геометрии. – Харьков: ХГУ, 1957. – 162 с.

6. Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. Энциклопедия элементарной математики. Кн. 5. Геометрия. – М.: Наука, 1966. – 624 c.