Турметов Б.Х., Муратбекова М.А.

О разрешимости одной краевой задачи для уравения Пуассона.

В настоящей работе исследуются вопросы разрешимости одной краевой задачи для уравнения Пуассона с граничным оператором высокого порядка.

Пусть - единичный шар в , ,

единичная сфера. Пусть достаточно гладкая функция в области , -натуральное число и - любые положительные числа.

Введем обозначения

,

Отметим, что операторы в классе гармонических функций изучены в

работе [1]. Исследуем некоторые свойства операторов .

Лемма1: Если , то справедливо равенство

(1)

где - оператор Лапласа,

Доказательство. Доказательство формулы (1) проведем методом

индукции по .

Непосредственным подсчетом находим, что в области

Тогда при имеем

.

Пусть для некоторого справедливо равенство (1). Тогда для получаем

.

Лемма доказана.

Доказательства следующих лемм проводится аналогично как в работе [1].

Лемма 2. Пусть натуральное число и . Тогда в области справедливо равенство

где .

Лемма 3. Если , то в области справедливо равенство

,

2. Постановка и решение основной задачи.

Задача А. Найти удовлетворяющий условиям

Пусть - решение следующей задачи Дирихле для уравнения Пуассона

(2)

Известно (см. например[2]), что если принадлежит классу , то решение задачи (2) существует, принадлежит классу и представляется в виде

(3)

где - функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Теорема . Пусть . Тогда решение задачи А существует и представляется в виде

где обозначено .

Доказательство теоремы .

Пусть - решение задачи 1. Применим к этой функции оператор и обозначим .

В силу утверждение леммы 1 справедливо равенство

.

Так как , то Из граничного условия задачи 1 имеем

Таким образом, функция является решением задачи (2) с

В силу равенства (3) решение представляется в виде

Применим к равенству оператор . Тогда используя второе равенство из леммы 3 получаем .

Так как функция при имеет место , то функция существует и принадлежить классу .

Тогда функция удовлетворяет всем условиям задачи А.

Теорема доказано.

Литература

1. Баврин И.И. Операторы для гармонических функций и их приложения. Дифференциальные уравнения. 1985, т.21, №1. С. 9-15.

2. Гильбарг Д.,Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М: Наука. 1989. – 464с.