*99893*

Математика/5 Математическое планирование

Байманкулов А.Т.

Костанайский государственный университет им.А.Байтурсынова

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ

Постановка задачи

Рассмотрим систему атмосфера- ненасыщенная зона- грунтовая вода. Движение воды в системе имеет непрерывный характер. Условия на границе подсистемы атмосфера и ненасыщенная зона, т.е. поверхность почвы, описывает движения воды в ненасыщенной зоне почвенного профиля.

Теория движения воды в почве при изотермических условиях для ненабухающих и недеформирующихся грунтов основано на законе Букингема /1/, которое выражает связь между потоком и градиентом потенциала переноса.

В этом контексте можно изучить движение влаги в ненасыщенной зоне решая задачу, математическая модель которой выглядит следующим образом

(1)

, (2)

(3)

где (1) дифференциальное уравнение, (2)-(3) начальные и граничные условия. Решение задачи (1)-(3) ищется численными методами, и вопросы сходимости возникнут как обязательные. Поэтому нам потребуются некоторые априорные оценки решения задачи (1)-(3). Для этого докажем лемму.

Лемма. Если то для решения прямой задачи имеет место оценка

Дифференцируем (1) по t. Затем умножив обе части знака равенства на и интегрируя по и по t в области , получим

.

Применяя неравенство Коши, выводим, что

.

Из тождества

следует неравенство

.

Усиливаем предыдущее неравенство

.

Применяя лемму Гронуолла, выводим что

.

Литература.

1.Buckingham E. Studies on movement of soil moisture. U. S. Dep. Agric. Bur. of Soils. (Washington), 1907, Bull. 38.

2.Нерпин С.В., Юзефович Г.И. О расчете нестационарного движения влаги в почве. // Докл. ВАСХНИЛ, №6, 1966.

3.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1996, 724 с.

4.Рысбайулы Б. Идентификация коэффициента теплопроводности распространения тепла в неоднородной среде // Вестник КБТУ, 2008, №1, ст. 62-65

1