*99443*

Педагогические науки. Проблемы подготовки специалистов.

Студ. Далудина А.Н.

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет, Украина

ЛОГИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КАК ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННАЯ ЗАДАЧА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Одной из важнейших областей природоохранной деятельности является область, где необходим выбор одного из возможных образов действия (программы действия). Это оптимизационные задачи, которые позволяют решать проблемы планирования, управления, принятия наилучшего решения, перспективного планирования, задачи математического моделирования, когда предлагается математическая модель того или иного процесса, действия. Такие задачи и технология их решения является составной частью современного математического образования специалистов-экологов. Существуют типовые математические модели эволюции экологических сообществ, которые полезно рассматривать в качестве профессионально-ориентированных задач высшей математики для студентов-экологов. В результате закрепляются математические знания, повышается мотивация изучения высшей математики и эффективность ее преподавания.

В развитии теоретического естествознания качественное исследование дифференциальных уравнений имеет особое значение. Динамику биологического сообщества описывают системы дифференциальных уравнений. Поэтому в курсе высшей математики для экологов в качестве прикладных задач в теме «Дифференциальные уравнения» рассматриваются простейшие задачи математической экологии. [1, с.3].

Состояние окружающей среды, проблемы экологической безопасности, минерально-сырьевых и рекреационных ресурсов актуальны сегодня, как никогда. Совершенствуются технологические, технические и экономические механизмы природопользования и охраны окружающей среды. В последнее время широко обсуждаются проблемы природоохранной деятельности регионов.

Известны типовые задачи математической экологии, представляющие собой простейшие математические модели развития экологических сообществ. Это экспоненциальная и логистическая модели развития экосистем [2, с.90], в том числе, мягкая и жесткая модели [3].

Одним из направлений природохозяйственной деятельности регионов является развитие рыбного хозяйства на базе водных экосистем (озер, водохранилищ, рек). В качестве примера подобной деятельности рассмотрим задачу о рыбопроизводстве в замкнутой водной экосистеме. Хозяйственная деятельность связана как с разведением, так и с отловом. Допустим, что разводят один вид рыб, но используют определенный корм в ограниченном количестве. Пусть коэффициент прироста является линейной убывающей функцией числа N, где а, b – положительные постоянные, характеристики данного вида рыб. Как отразится на численности популяции вылов с интенсивностью с ?

Составляем дифференциальное уравнение для поставленной задачи

, (1)

в котором функция N(t) определяет численность вида в момент времени t . Если рыболовство с интенсивностью c не отражается на численности вида, то биосистема, говорят, находится в состоянии устойчивости или «стабильности». С этой целью представим правую часть уравнения (1) в виде

,

.

Допустим, что >0 и n₁> n₂ . Дифференциальное уравнение

(2)

с учетом начального условия (t₀, N₀) имеет решение

. (3)

В силу заданного начального условия в момент t=t₀ выражение равно и решение (3) примет вид

. (4)

Если t>t₀ , из формулы (4) легко получить неравенства:

, для N₀>n₁;

, для n₂<N₀<n₁;

, для N₀<n₂.

Разрешая соотношения (4) относительно N, получим выражение

, . (5)

Из него следует, что N стремится к предельному значению n₁ при t>>t_0..

Рис.1. Кривые зависимости численности популяции N(n₁, n₂)

от времени t и начального условия (N₀,t₀) .

Пусть N₀>n₁ , тогда со временем численность снижается N<N₀, приближаясь к предельному значению n₁ (рис.1, кривая c). При начальном значении n₂<N₀<n₁ отлов не уменьшает популяци, со временем численность сообщества растет N>N₀ до предельного значения n₁ (рис.1, кривая b). Если же N₀<n₂, то численность вида падает N<N₀ , со временем он перестает существовать (рис.1, кривая a).

Допустим, что =0. Решение дифференциального уравнения

, ,

записываем в виде .

Рис.2. Кривые зависимости численности популяции N(n) от времени t и начального условия (N₀,t₀).

22

Кривые на рис.1,2 иллюстрируют изменение численности в окрестности особых точек: N=n₁, N=n₂ (рис.1) и N=n (рис.2). Из двух особых точек (рис.1) одна точка n₁ соответствует устойчивому состоянию, когда популяция, измененная в результате каких-либо причин, восстанавливается, другая точка n₂ соответствует квазиустойчивому состоянию системы, когда популяция из-за возникших флуктуаций может самоуничтожиться. Значение функции N(t) в особых точках определяется параметрами биосистемы и внешним воздействием – интенсивностью вылова c. Если функция N(t) имеет одну особую точку N=n (рис.2), то система неустойчива в этом состоянии. Таким образом, популяция восстанавливается при , когда вылов с ограничен величиной , либо самоуничтожается за небольшой промежуток времени при , какой бы численности она ни была, когда квота отлова равна либо превышает критическое значение . Результаты исследования могут быть использованы при оценивании продуктивности замкнутых экосистем.

Литература

[1] – Емельянова Т. В. Высшая математика для экологов в прикладных задачах. Дифференциальные уравнения / Т.В. Емельянова, Т.А. Ярхо, О.С. Полтавская, И.П. Гавриш // Сборник материалов международной научной конференции «Наука и образование». - Чехия, 27 декабря 2011 г.- 5 января 2012 г.

[2] – Вольтерра В.Математическая теория борьбы за существование / В.Вольтера. – М.: Наука. – 1976. –288 с.

[3] – Арнольд В.И. «Мягкие» и «жесткие» математические модели / В.И.Арнольд // Издательство: МЦНМО ISBN: 978-5-94057-427-9. – 2008. – 32 c.