Математика/ 4 Прикладная математика.

 

к.ф.-м.н.  Турешбаев А.Т., старший  преподаватель Омарова У.Ш.,

преподаватель Мырзахметова С.Е.

 

Кызылординский государственный университет имени Коркыт Ата

 

Положения относительного равновесия космического аппарата с солнечным парусом в поле двойной звезды

 

  Исследуется трехпараметрическое семейство положений относительного равновесия станции-парусника в поле двойной звезды. В качестве динамической модели используется обобщенная фотогравитационная ограниченная круговая задача трех тел, в которой в отличие от классической проблемы оба основных гравитирующих тела являются излучающими. Найдены положения относительного равновесия корпуса станции в предложении, что ее центр масс расположен в одной из устойчивых треугольных точек либрации.

В работах [1-5], посвящённых движению и эволюции газопылевых облаков, исследуется динамика космического объекта, принимаемого за материальную точку. Настоящая работа посвящена изучению рановесных ориентаций орбитальной станции с солнечным парусом, принимаемой за лёгкое тело сферической формы в фотогравитационном поле двойной звезды.

Движение станции P массой  m будем рассматривать в поле двух гравитирующих и одновременно излучающих тел, считаемых материальными точками и обращающихся друг относительно друга по круговым орбитам с постоянной угловой скоростью относительно оси OZ в барицентрической системе координат OXYZ с осью OX, проведённой вдоль прямой, соединяющей основные тела. Ось OZ направлена перпендикулярно плоскости орбитального  движения в сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки. При этом для удобства выберем следующие единицы измерения: сумму масс основных тел m1 и m2 примем за единицу массы, расстояние между ними – за единицу длины, T/2p - за единицу времени (Т – период обращения тел). Тогда уравнения движения пассивно гравитирующего тела (станции-парусника)  в рамках обобщенной (в смысле учета светового давления) фотогравитационной ограниченной  круговой задачи трех тел можно записать в виде

                                                                         (1)

где L -функция Лагранжа [6]

                   (2)

Здесь  - главные центральные моменты инерции станции;    - координаты центра масс тела во вращающейся вместе с основными телами системе координат  a  - углы Эйлера. При этом главные центральные оси инерции станции приняты за оси системы координат   - силовые функции, учитывающие силы гравитации и силы светового отталкивания со стороны обоих основных излучающих тел. Считая, что характерный размер l станции много меньше расстояния   между  ее центром масс и основными телами, и, пренебрегая членами  и выше как в [6], имеем приближенные выражения для  и :

       (3)

где  и  - коэффициенты редукции массы, зависящие от интенсивности излучения основных тел и парусности самой станции [1,4],

 - направляющие конусы углов между осями  и осями  соответственно, которые выражаются через углы Эйлера формулами:

                                          (4)

Первые три уравнения (i=1,2,3) системы (1) описывают движение центра масс станции, остальные (i=4,5,6) – движение станции относительно центра масс. Из (1) и (2) видно, что при  уравнения (1) принимают вид уравнения движения материальной точки. При   уравнения центра масс станции отличаются от уравнений движения соответствующей материальной точки малыми поправками, которыми в рассматриваемом случае можно пренебречь [6]. Отсюда следует, что взаимные влияния движения центра масс и движения вокруг центра масс станции малы.

Принимая  за малый параметр [6,8], и полагая , изменённую потенциальную энергию тела представим в виде:

                                            (5)

Здесь

                                              (6)

          (7)

Положения относительного равновесия центра масс и корпуса станции, вытекающие из условия  стационарности функции , отвечают решениям уравнений

                              (8)

Уравнения

,                                                 (9)

соответствующие уравнениям относительного равновесия частицы фотогравитационной ограниченной  задаче трех тел в предложении, что станция принимается за материальную точку, имеют решения  называемые коллинеарными , треугольными  и компланарными   точками либрации [1-3].

Угловые величины , определяющие ориентацию станции, находятся из последних уравнений (8), в которые вместо  подставлены координаты одной из точек либрации.

В настоящей работе будем рассматривать случай, когда  являются координатами одной из устойчивых (по крайней мере формально или для большинства начальных условий [10])  треугольных точек либрации.

Теперь определим уравнения:

 

    (10)

 

где введены обозначения

                                         (11)

В уравнениях (10) вместо  и  необходимо подставить соответственно их значения из [3]:

                                  (12)

Подставляя (12) в (10), нетрудно убедиться, что рассматриваемые уравнения допускают решение

  

где

   (13)

Анализ последнего выражения показал, что для значения коэффициентов редукции  и безразмерной массы  угол  принимает значения в интервале . Учитывая, что при изменении аргумента функции  на её период p оси  и  меняются местами, нетрудно показать соответствие каждому значению  и  двух динамически эквивалентных положений равновесия.

Таким образом, решения (13) системы (10) задают две пары динамических эквивалентных положений равновесия рассматриваемой станции.

Если решение полной системы уравнений (8) искать в виде [9]:

                                                        (14)

то для определения  следующих членов рядов  следует продифференцировать уравнения (8) по параметру e в предположении, что переменные являются функциями e, и после дифференцирования положить         

                      .

Как известно [11], количество двойных звезд в нашей Галактике составляет примерно половину всех существующих звёздных систем, а по некоторым оценкам доходит до 80-90% [12]. Следовательно, повышенный интерес представляет исследование движения искусственных небесных тел, обладающих значительной парусностью в рамках фотогравитационной ограниченной задачи трёх тел. В такой динамической модели гравитационные силы и светового давления, действующие на станцию, учитываются как основные факторы, и соответствующее движение станции можно принять за невозмущенное, а влияние остальных малых возмущающих сил учитывается посредством теории возмущений.

 

 

 

Литература:

 

1.      Куницын А.Л., Турешбаев А.Т. О коллинеарных точках либрации//Письма в Астрон.журн., 1983, Т.9, №7. С.432-435.

2.      Турешбаев А.Т. Об устойчивости компланарных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел//Письма в Астрон.журн., 1986, Т.12, №9. С.722-725.

3.      Куницын А.Л., Турешбаев А.Т. Устойчивость треугольных точек либрации фотогравитационной задачи трёх тел. //Письма в Астрон.журн., 1985, Т.11, №2 С.145-148.

4.      Kunitsin A.L., Tureshbaev A.T. Of the collinear libration points in the photo-gravitational three-body problem//Celect.Mesh. 1985, v.35, p.105-112.

5.      Куницын А.Л., Турешбаев А.Т. О пространственных периодических движениях микрометеоритных частиц в гравитационно-репульсивном поле бинарных звездных систем//Доклады НАН РК. 2008, № 3, С.19-23.

6.      Рубановский В.Н. Об относительном равновесии станции-гиростата в обобщенной ограниченной круговой задаче трех тел//ПММ. 1981. Т.45. Вып.3. С.494-503.

7.      Пережогин А.А. Исследование движения в некоторых задачах небесной механики с учетом св.давления./Канд.дисс.М.:1982.

8.      Румянцев В.В. Об устойчивости ориентации спутника-гиростата в равновесных положениях в точках либрации. – В кн. «Избранные проблемы прикладной механики». М.: ВИНИТИ, 1974.

9.      Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы М.: Наука, 1981.

10.  Пережогин А.А., Турешбаев А.Т. Об устойчивости треугольных точек либрации в фотогравитационной задаче трех тел //Письма в АЖ, 1987,Т.13, №4, С.338-344.

11.  Спитцер Л. Пространство между звёздами М.: Наука 1986. 182 с.

12.   Ляпунов В.М. В мире двойных звёзд. М.: Наука, 1986, 208 с.