Івченко О.В.

Черкаський державний технологічний університет, Україна

ОСОБЛИВОСТІ ЗАСТОСУВАННЯ МОМЕНТНО-КУМУЛЯНТНОГО ОПИСУ СТАТИСТИЧНО ЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Статистично залежна випадкова величина характеризується як одномірними так і багатомірними моментами, які взагалі безпосередньо не виражаються один через одного.

Моменти можуть бути отримані в результаті експериментальних досліджень як певні усереднення вибіркових значень і залишатися єдиними величинами, що представляють певні властивості випадкової величини. Для випадкових величин, що є відмінними від гаусівських саме ці характеристики можуть нести всі можливі відомості про їх статистичний розподіл.

Відмінність від нуля сумісних кумулянтів свідчить про існування статистичної залежності між відповідними випадковими величинами .

Між сумісними моментами і кумулянтами існують зв’язки, подібні зв'язкам моментів і кумулянтів при одномірному розподілу випадкових величин. Зокрема встановлено [1], що сумісний кумулянт другого порядку (коваріація) , описує статистичний зв'язок першого порядку , або корельованість випадкових величин:

, (1)

де і -математичні сподівання,; - сумісний момент 2-о порядку.

Аналізуючи вираз (1) можна побачити, що сумісний кумулянт є

ніщо інше як функція кореляції випадкового процесу в два різних моменти часу. Рівність нулю ще не свідчить про статистичну незалежність, так як кумулянти більш високого порядку можуть бути відмінними від нуля.

Кумулянти більш високого порядку встановлюють більш складну залежність між випадковими величинами, ніж їх залежність при взаємній кореляції.

Згідно цих міркувань, кумулянт третього порядку описує статистичний

зв'язок другого порядку, кумулянт s-го порядку описує статистичний зв'язок s-1-го порядку. Причому цей зв'язок може існувати незалежно від наявності статистичних зв’язків нижчих порядків.

В залежності від повноти опису статистично залежної випадкової величини, що визначається розмірністю n багатомірної щільності розподілу, розмірність сумісних моментів і кумулянтів теж рівна n [2].

Аналіз статистичних двохмірних зв’язків можна легко навести у вигляді трикутної таблиці [1], яка наглядно представляє характеристики випадкової величини.

Рівність нулю всіх сумісних кумулянтів є необхідною і достатньою умовою статистичної незалежності випадкової величини .

Зокрема, для двохмірного гаусівського розподілу елементами данної таблиці є лише кумулянти першого і другого порядку.

Таким чином, на основі моментно-кумулянтного опису можна розширити, зопропоновану професором Кунченко класифікацію випадкових величин, відмінних від гаусівських [2], на багатомірний випадок. Згідно введеної класифікації незалежних випадкових величин, поділ їх на види і типи визначається кумулянтним описом.

Наведемо визначення корельованих негаусівських випадкових величин 1-го виду.

Визначення 1. Асиметричними корельованими випадковими величина 1-го типу будемо називати сукупність випадкових величин, у яких відмінними від нуля є кумулянти , і , а асиметричними корельованими випадковими величина 2-го типу- сукупність випадкових величин, у яких відмінними від нуля є кумулянти , , і .

Визначення 1. Асиметричними корельованими випадковими величина 1-го типу будемо називати сукупність випадкових величин, у яких відмінними від нуля є кумулянти , , і а асиметричними корельованими випадковими величина 2-го типу - сукупність випадкових величин, у яких відмінними від нуля є кумулянти , , , , , і .

Визначення 2. Ексцесними корельованими випадковими величинами 1-го типу будемо називати сукупність випадкових величин, у яких відмінними від нуля є кумулянти , , , і , а ексцесними корельованими випадковими величина 2-го типу - сукупність випадкових величин, у яких відмінними від нуля є кумулянти , , , ,,, ,, .

Визначення 3. Асиметрично-ексцесними корельованими випадковими величинами, близькими до гауссівських корельованих випадкових величин 2-го типу будемо називати сукупність випадкових величин, у яких відмінними від нуля є кумулянти , , , , , і .

Практичні дослідження показують, що лише для невеликої частини статистично залежних випадкових величин відомі математичні вирази багатомірних щільностей розподілу. Набагато простіше оперувати характеристиками, які несуть усереднені відомості про імовірнісне положення випадкової функції. Моментно-кумулянтний математичний апарат, як опис статистично залежних випадкових величин розкриває широкі можливості для опрацювання випадкових величин, відмінних від гаусівських.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразование. М.”Сов. радио”, 1978.-376с.

2. Кунченко Ю.П. Стохастические полиномы.-К.: Наук. Думка, 2006.-275с.