Волынская М.Г.

Самарский Государственный университет, Россия

О разрешимости одной задачи для нагруженного уравнения

Пусть круглая мембрана натягивается в отверстии некоторого сосуда, непроницаемого для воздуха. Такую ситуацию можно наблюдать в некоторых типах конденсаторных микрофонов или барабане.

В этом случае натяжение является не единственной восстанавливающей силой,

так как воздух в сосуде оказывает действие на мембрану и изменяет её собственные частоты и характер колебания.

Исследование колебаний такой мембраны барабана приводит к следующему гиперболическому уравнению:

где

В данном уравнении -скорость распространения поперечных волн в мембране, -поверхностная плотность мембраны, -объем сосуда, -невозмущенная плотность воздуха, -скорость распространения малых возмущений в воздухе.

Область G представляет собой круг радиуса .

Функция u(x,y) задает форму мембраны, выведенной из равновесия;

при этом объем сосуда уменьшается на величину

Исследование колебаний такой мембраны барабана приводит при математическом моделировании к следующей задачи для нагруженного гиперболического уравнения:

(1)

(2)

(3)

(4)

где

Временно считая функцию известной, решение поставленной задачи можно получить методом Фурье.

Показано, что метод разделения переменных приводит к задаче Штурма - Лиувилля для уравнения Бесселя, собственными функциями которого являются функции Бесселя .

Используя теорему Шафхейтлина ([7], с.540) о свойствах корней функции Бесселя , а так же условия сходимости некоторых рядов Фурье – Бесселя ([1], с.295), удалось показать, что функция удовлетворяет уравнению Вольтерра второго рода

(6)

где выражается через известные функции.

В силу равномерной сходимости ряда:

,

ядро уравнения (6) непрерывно и ограничено, что влечёт за собой существование и единственность решения интегрального уравнения ([3], с.228).

Таким образом, задача (1)-(5) становится классической смешанной задачей.

Доказательство единственности решения задачи (1)-(5) базируется на полученной априорной оценке:

Литература:

1. Кошляков Н.С. Глинер Э.Б. Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики, М.: "Высшая математика", 1970

2. Толстов А.Н. Ряды Фурье , М.: Наука, 1972

3. Краснов М.~Л. Интегральные уравнения - М.: Наука, 1975.

4. Градштейн И.С. Рыжик Г.М. Таблицы интегралов сумм рядов и произведений, государственное издательство физико-математической литературы- М.: Наука, 1962

5. . Эрих Камке Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, - М.:1976, - 576с

6. Л. Гординг Задача Коши для гиперболических уравнений, издательство иностранной литературы - М.: 1961, - 120с

7. Ватсон Г.~Н. Теория бесселевых функций, издательство иностранной литературы - М.: 1949, -798с

8. Будак Б.М. Самарский А.А. Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике, М.: Наука, 1972, - 688c

9. Релей Теория звука, --- М.: Гостехиздат, 1955, -688c