Колобов Г.А., Скачков В.А., Оверчук О.Р., Иванов В.И.,

Болюк С.В., Моисейко Ю.В.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОХЛАЖДЕНИЯ труб малого диаметра из алюминиевых сплавов

В КРИСТАЛЛИЗАТОРЕ

Запорожская государственная инженерная академия

Разливка труб малого диаметра из алюминиевых сплавов может быть реализована в металлическом кристаллизаторе цилиндрической формы (внутри кристаллизатора находится формирующий стержень) с внешним охлаждением в среде жидкости или газа.

При рассмотрении теплового баланса на участке кристаллизатора, ограниченном сечениями [х, х + dх], можно записать

 ,                                                    (1)

где  Qх, Qх+d- - поступление и отдача теплоты в указанных сечениях кристаллизатора;  dQ - отвод теплоты через его боковую поверхность.

Значение dQ определяется передачей теплоты от текущего расплава к стержню dQст и к внутренней поверхности кристаллизатора dQр, по толщине стенки кристаллизатора dQст и от наружной поверхности кристаллизатора в окружающую среду dQв:

.                                              (2)

В соотношении (2) компоненты определяются выражениями:

                                        (3)

 ;                                          (4)

 ;                                              (5)

 ,                                          (6)

где  αст, αр, αтв - коэффициенты теплоотдачи от расплава к стержню и к кристаллизатору, и от кристаллизатора к внешней среде соответственно;  λ - коэффициент теплопроводности материала кристаллизатора;  tр, tст, tс1, tс2, tв - температура расплава, температура стержня, температура внутренней, внешней поверхности кристаллизатора и окружающей среды соответственно;  d1, d2, dст - соответственно внутренний и наружный диаметр кристаллизатора, а также диаметр стержня.

Исключая температуру tс1 и tс2, после преобразований получим

                                        (7)

Левую часть уравнения (1) можно записать как

 ,                         (8)

где  с, ρ  - теплоемкость и плотность расплава соответственно;  y - линейная скорость течения расплава.

Тогда, вводя допущения о постоянстве как скорости течения расплава по длине кристаллизатора, так и его теплоемкости, а также полагая равномерным распределение температуры расплава по диаметру кристаллизатора, после подстановки соотношений (7) и (8) в уравнение (1), получают систему уравнений, описывающих распределение температуры по длине формирующего стержня и кристаллизуемого расплава:

 ;                                                    (9)

 ,                                     (10)

где    ;  ;     ;

         .

Граничные условия для системы уравнений (9)-(10) представляют равенство температуры в начале кристаллизатора и температуры зоны расплава:

 ;                                                      (11)

 ;                                                       (12)

 ,                                                       (13)

где   - температура расплава.

Решение системы уравнений (9) и(10) можно записать следующим образом:

;                          (14)

 ;                      (15)

где  ;  .

Предложенная математическая модель процесса охлаждения в кристаллизаторе при разливке труб малого диаметра из алюминиевых сплавов учитывает условия теплоотдачи от расплава к внутренней поверхности кристаллизатора и формирующему стержню, передачу теплоты через стенку кристаллизатора и от его наружной боковой поверхности в окружающую среду.