Математика/1.
Диференціальні та інтегральні рівняння
Колісник Р.С.
ЕВОЛЮЦІЙНІ РІВНЯННЯ ВИЩОГО ПОРЯДКУ ПО З ОПЕРА-ТОРОМ
ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ НЕСКІНЧЕННОГО ПОРЯДКУ
При
дослідженні проблеми про класи єдиності та класи коректності задачі Коші для
рівнянь з частинними похідними зі сталими (або залежними лише від часу)
коефіцієнтами широко використовуються простори типу , введені І.М.Гельфандом і Г.Є.Шиловим, та простори типу
, введені Б.Л.Гуревичем. Простори
типу
складаються з
нескінченно диференційовних на
функцій, поведінка
яких та їхніх похідних на дійсній вісі характеризується величинами
, де подвійна
послідовність
задовольняє певні
умови (особливо повно досліджено випадок
). Простори типу
є узагальненнями просторів
типу
внаслідок заміни степеневих
функцій довільними опуклими, що дозволяє точніше охарактеризувати особливості
зростання або спадання функцій на нескінченності.
У
працях М.Л.Горбачука, П.І.Дудникова, О.І.Кашпіровського, С.Д.Івасишена,
Л.М.Андросової, В.В.Городецького, В.П.Лавренчука, І.В.Житарюка, О.Г.Возняк,
В.А.Літовченка встановлено, що простори типу - простори, топологічно спряжені до просторів типу
, - є природними множинами початкових даних задачі Коші для
широких класів рівнянь з частинними похідними скінченного порядку, при яких
розв’язки є нескінченно диференційовними функціями по просторових змінних.
В.В.Городецьким, О.В.Мартинюк, О.М.Ленюком аналогічні результати у просторах
типу
встановлені для певних
класів рівнянь з частинними похідними нескінченного порядку (еволюційні
рівняння, які містять оператор диференціювання нескінченного порядку, або
оператор диференціювання–Бесселя нескінченного порядку). У працях [1,2]
побудовані класи цілих функцій (простори типу
), які
спадають на дійсній вісі при
швидше, ніж
; при цьому простори типу
, а також простори типу
утворюють певні підкласи просторів
типу
. У цих працях розвивається теорія задачі Коші для одного
класу рівнянь з частинними похідними з початковими умовами з просторів типу
. Природно виникає питання про одержання аналогічних
результатів для еволюційних рівнянь вищого порядку по
з оператором диференціювання нескінченного порядку. У
роботі дається відповідь на поставлене питання у випадку задачі Коші для
вказаних рівнянь у просторах
узагальнених функцій типу
(аналітичних функціоналів).
де – найменше серед натуральних чисел таке, що
,
– функція Хевісайда. За допомогою
будуються оператори
. Оскільки
, то оператор
при
називають оператором
дробового диференціювання.
Нехай – простір введений в [1]. Розглянемо рівняння
(1)
з початковою умовою
. (2)
Тут – простір, топологічно спряжений до
,
– ціла та дробова частини числа,
– оператор дробового диференціювання, який діє по змінній
у просторі
.
Теорема. Задача Коші (1), (2)
коректно розв’язна
в класі узагальнених функцій . Розв’язок
при кожному
фіксованому
належить до простору
і подається у вигляді
де (
– фундаментальний розв’язок задачі Коші (1), (2)).
Література:
1.
Городецький
В.В., Колісник Р.С. Про одне
узагальнення просторів типу // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр.
Вип.134. Математика. – Чернівці: Рута, 2002. – С. 30-37.
2.
Городецький
В.В., Колісник Р.С. Оператори диференціювання нескінченного порядку у просторах
типу та їх
застосування // Доп. НАН України. – 2004. – № 10. – С. 14–19.
3. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных
и обобщенных функций. –М.: Физматгиз, 1958. – 307с.