Маслова С. В.

МГПИ им. М. Е. Евсевьева, каф. методики начального образования

Семагина С. В.

Напольновская СОШ, Чувашская республика

 

Различные способы решения задач

в начальном курсе математики

 

Анализируя условия задач, представленных в школьном курсе математики, выясняем, что чаще всего требуется найти одну или несколько неизвестных, произведя те или иные действия над величинами. Подобные задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, то есть можно говорить об алгебраическом способе решения текстовых задач. Уравнения и системы уравнений занимают ведущее место в школьном курсе алгебры и материал, связанный с ними, составляет значительную часть всего школьного курса математики. Главным образом это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах как математики, так и физики, химии, биологии, в решении различных прикладных задач. Большое количество задач, связанных с нахождением различных параметров пространственных формах и всевозможных численных отношений окружающего мира сводится к решению уравнений.

Истоки алгебраических методов решения практических задач уходят в глубокую древность. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX-VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться зачатки алгебраических представлений.

В настоящее время в начальном курсе математики развивающей системы Л. В. Занкова имеется целый ряд задач, которые могут быть решены как арифметическим, так и алгебраическим (система уравнений) способами. К сожалению учителя начальных классов не всегда нацеливают учащихся на решение той или иной задачи двумя способами.

Мы предлагаем некоторые тексты подобных задач вместе с двумя способами решения с целью сопоставления предлагаемых способов и демонстрации возможности решения задач как при помощи арифметических действий, так и при помощи системы уравнений.

Задача 1: «Хозяйка развела кур и кроликов. Всего у них 35 голов и 94 ноги. Сколько у хозяйки кур и сколько кроликов?»

Арифметический способ решения:

1) 35×2=70 (ног) - если бы все были куры.

2) 94-70=24 (ноги) - у кроликов.

3) 4-2=2 (ноги) - на столько ног больше у кролика, чем у курицы.

4) 24:2=12 (кр.)

5) 35-12=23 (кур.)

Ответ: 12 кроликов, 23 курицы.

Алгебраический способ решения:

Пусть у хозяйки х кур, а у – кроликов. Суммарно их 35, то есть х+у=35 – первое уравнение.

Так как у кур по 2 ноги, то 2х – всего ног у кур. У кроликов по 4 ноги, то 4у – всего ног у кроликов. В сумме составляют 94 ноги. Тогда получим второе уравнение – 2х+4у= 94.

В итоге получается система уравнений:

     

    

 (кроликов).

35-12=23 (курицы).

Ответ: 23 курицы, 12 кроликов.

Задача 2: «В саду было 4248 яблонь и груш. На каждые 7 яблонь приходилось 5 груш. Сколько в саду было яблонь и сколько груш?»

Арифметический способ решения:

1) 7+5=12 (д.)

2) 4248:12=354 (раза) - возьмём по12 в 4248.

3) 7×354=2478 (яб.)

4) 5×354=1770 (гр.)

Ответ: 2478 яблонь, 1770 груш.

Алгебраический способ решения:

Пусть х - яблони в саду, у - груши. Суммарно составляют по условию задачи 4248 деревьев, то есть х+у=4248 – первое уравнение.

По условию на 7 яблонь приходится 5 груш, то 7х - всего яблонь будет в саду, 5у – всего груш. Получим второе уравнение: 7х=5у.

В итоге получим систему уравнений:

    

               

 (груш).

4248-2478=1770 (яб.)

Ответ: 1770 яблонь, 2478 груш.

Задача 3: «Из двух городов вышли одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 18 ч. Определи скорость каждого поезда, если расстояние между городами 1620 км и скорость одного поезда на 10 км/ч больше скорости другого.»

Арифметический способ решения:

1) 10×18=180 (км) - проедет первый поезд больше второго до встречи.

2) 1620-180=1440 (км) - проехали бы оба поезда до встречи за 18 часов с одина­ковой скоростью.

3) 1440:18=80 (км/ч) - сближение поездов за 1 час с одинаковой скоростью.

4) 80:2=40 (км/ч) - скорость первого поезда.

5) 40+10=50 (км/ч) - скорость второго поезда.

Ответ: 40 км/ч, 50 км/ч.

Алгебраический способ решения:

Пусть х км/ч – скорость одного поезда, у км/ч – скорость другого поезда. 18х км – проехал первый поезд до встречи, 18у км/ч – проехал второй поезд до встречи. До встречи оба поезда вместе прошли 1620 км. Получаем первое уравнение: 18х+18у=1620.

Скорость первого поезда больше скорости второго поезда на 10 км, то есть разность между скоростями поездов составляет 10 км. х-у=10 – второе уравнение.

В итоге получаем систему уравнений:

    

          

          

50 км/ч – скорость первого поезда.

40 км/ч – скорость второго поезда.

Ответ: 50 км/ч, 40 км/ч.

Задача 4: «Для похода 46 школьников приготовили шестиместные и четырёхместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в 10 лодках, и свободных мест не осталось?»

Арифметический способ решения:

1) 4∙10=40 (чел.) – поместилось бы в лодки, если бы они все были четырехмест­ными.

2) 46-40=6 (чел.) – не поместились бы в лодки, если бы они все были четырех­местными.

3) 6:2=3 (л.) - шестиместные.

4) 10-3=7 (л.) - четырёхместных.

Ответ: 3 лодки, 7 лодок.

Алгебраический способ решения:

Пусть х лодок - шестиместных, у лодок – четырёхместных. Четырёхместные и шестиместные лодки по условию задачи суммарно составляют 10, то есть х+у=10 – первое уравнение.

6х – места, занятые в шестиместных лодках, 4у – места занятые в четырёхместных лодках. Всего мест занято в двух видах лодок – 46. Получаем второе уравнение: 6х+4у=46.

В итого получим систему уравнений:

3 лодки – шестиместные.

7 лодок – четырёхместных.

Ответ: 3 лодки, 7 лодок.

Предлагая ученикам задачи, решаемые с помощью системы уравнений, необходимо постоянно иметь в виду, что основная задача этой работы - не формирование навыка решения как самих уравнений, так и системы, а осознание общего пути преобразования предлагаемых условий от сложного к более простому.

Какого уровня сложности уравнения будут разбираться в каждом конкретном классе, зависит не столько от материала учебника, который дает только усредненную ориентировку, сколько от особенностей класса. Учитель сам определяет уровень трудности, который необходим его детям.

Возможность решения задач разными способами предоставляет ученику право выбора, что делает самого ученика более свободным, спокойным, появляется возможность его успеха, формулируется установка на нахождение выхода из любой сложной ситуации. Все вышесказанное способствует адаптации личности младшего школьника в условиях современной образовательной среды.