Аширбаева Ж.Н.

МЕТОД КОНТРПРИМЕРОВ КАК ПРИЕМ УТОЧНЕНИЯ УЧАЩИМИСЯ

ИЗУЧАЕМЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

Усвоение учащимися научных понятий – это длительный процесс, требующий постоянных поправок и уточнений, в конечном счете, приводящих к желаемому результату. Эти поправки и уточнения может делать сам учитель. Но лучший результат в смысле прочности и глубины усвоения научных понятий получают в том случае, если необходимые поправки, уточнения, а также распознание и исправление ошибок производит сам ученик.

Одним из приемов, объективно включающих учащихся в эту активную самостоятельную работу, является построение определения понятия. Уже в самых простых определениях мы подводим отдельный предмет под общее понятие, указывая тем самым, что он является носителем системы существенных свойств, знание которых позволяет человеку практически овладеть предметом или определить свое к нему отношение.

Необходимо особо отметить, что наиболее часто встречающиеся ошибки в определениях учащихся – это расширение или сужение определяемого понятия.

Первый тип ошибок заключается в том, что в определении отсутствует одно, а иногда и больше существенных видовых отличий, хотя они в соответствующем образе представления наличествуют и фиксируются сознанием учащегося как детали, существенным образом определяющие структуру данного образа. Например, на предложение учителя дать определение понятия секущей ученик отвечает: «Секущей называется линия, пересекающая окружность». Он не сказал, что это прямая линия, хотя это существенный признак определения. Услышав от ученика неправильное определение секущей, учитель не поправляет его, а включает всех учащихся в непосредственное наблюдение чертежа на доске, в которой наглядно видна допущенная учеником ошибка. Такой прием предъявления чертежа называют методом контробраза (в геометрии) или контрпримера (в алгебре). Следовательно, контробраз – это такая геометрическая фигура, которая находится в согласии с неправильным определением учащегося, но противоречит его правильному представлению [1]. В данном случае контробраз противоречит правильному представлению учащегося о секущей, т.е. его прошлому опыту. Реакция со стороны ученика после наблюдения чертежа последовала тотчас же. Он исправил свою ошибку («Секущей называется прямая линия, пересекающая окружность»). Контробраз, предложенный учителем, помог ученику самостоятельно ввести в определение недостающий, существенный признак и тем самым правильно раскрыть содержание изучаемого понятия.

Второй типичной ошибкой, допускаемой учащимися в определении понятия, является введение в него таких признаков, вследствие которых понятие оказывается неправомерно узким. Например, отвечая на вопрос учителя «Что такое катеты треугольника?», ученик говорит, что «катеты - это такие стороны, которые расположены одна вертикально, а другая горизонтально». Очевидно, в процессе изучения этого понятия ученики постоянно использовали стандартное изображение чертежа. Систематически повторяемое изображение учителем и учениками привело к тому, что в соответствующем понятии выпало основное качество – обобщенность [2].

Чтобы обеспечить более глубокое понимание учащимися содержания определений геометрических понятий, мы использовали метод контробраза не только в тех случаях, когда ученики уже совершали ту или иную ошибку, но и в самом начале знакомства с понятием новой геометрической фигуры. Введение каждого нового понятия сопровождалось демонстрацией нескольких соответствующих геометрических фигур, в изображениях которых варьировались несущественные признаки. На каждом варианте фигуры проводился анализ структуры с точки зрения ее существенных свойств. У учащихся создавалось обобщенное представление об изучаемой фигуре [3].

Структуру каждого более или менее значительного геометрического образа учитель раскрывал демонстрацией контробразов, соответствующих определению, в котором поочередно опускалось то одно, то другое видовое отличие. Метод формирования определений понятий через противопоставление доводит до ясного понимания связи между элементами структуры геометрической фигуры, с одной стороны, и соответствующей структурой определения понятия, с другой. Сознательное и активное усвоение этой связи почти полностью предупреждает возникновение возможных ошибок в определениях [4]. Ниже приводим описание фрагментов уроков по формированию определений геометрических понятий.

Окружность. Спросив учащихся, каким инструментом чертят окружность, и получив единодушный ответ – циркулем, учитель чертит на доске окружность (рис.1 и рис.2) и предлагает то же самое сделать ученику, стоящему у доски. Но прежде чем передать ему циркуль, учитель ослабляет винт. Ученик пытается начертить окружность, но она не получается, ножки циркуля разъезжаются.

Рис. 1 Рис. 2

Ученик прилагает все силы, чтобы удержать ножки циркуля на равном расстоянии, но окружность получается неровной (рис.3).

Учитель. Почему не получается окружность?

1-й ученик. Надо туже завинтить винт.

Учитель. Правильно. Но почему это надо сделать?

1-й ученик. Надо, чтобы все точки находились на одинаковом расстоянии от центра.

Учитель. Правильно. Вот мы и установили одно свойство окружности: все точки окружности равноудалены от центра, и это очень важно: мог бы вагон катиться по рельсам, если бы окружность колеса имела форму, изображенную на рисунке?

Ученики (с мест). Нет!

Учитель. Теперь второе свойство окружности: посмотрите, что я здесь нарисовал. Все точки этой кривой линии равноудалены от центра. Будет ли эта кривая окружность? (рис. 4)

Ученик. Окружность – замкнутая линия. А здесь только часть ее. Это дуга.

Учитель. Итак, окружность – замкнутая кривая.

Рис.3 Рис. 4

Теперь третье свойство. Вот шар, и на нем начерчена кривая замкнутая линия. Все точки этой кривой равноудалены от центра шара. Первые два свойства окружности, которые мы установили, здесь выполнены. Будет ли эта кривая окружностью? (рис. 5)

Ученики. Нет, не будет!

Учитель. Так ведь она же и замкнутая и все точки ее находятся на одинаковом расстоянии от одной?

Ученики. Нет, не будет.

Учитель. Эта кривая расположена на шаре, а окружность?

Ученики. Окружность располагается на плоскости.

Затем учащиеся дают полное определение окружности, однако оно получается не сразу: опускается то один, то другой, то третий признак из определения.

Рис. 5

Как видно из вышеприведенного описания, учитель применил метод контрпримера (контробраза) уже в самом первоначальном процессе отыскания свойств окружности. Понятно, что применение метода контробраза оказалось успешным только благодаря наличию некоторого прошлого опыта учащихся.

Хорда. Учитель. Кто же мне скажет, что называется хордой?

1- й ученик. Линия, проведенная от одной точки окружности к другой.

Учитель. Значит, это хорда? (рис. 6)

Рис. 6 Рис. 7

1- й ученик. Нет, хорда это прямая линия.

Учитель. Вот тебе прямая линия. Будет ли она хорда? (рис.7)

1-й ученик. Нет. Хорда- это отрезок прямой линии, соединяющий две точки окружности.

Учитель. В чем же состоит твоя ошибка?

1-й ученик. Я сказал линия, а надо сказать отрезок.

Учитель. А почему нельзя сказать, что хорда это прямая линия?

1-й ученик. Прямая линия не ограничена, а отрезок ограничен.

Как мы видим на этом примере, преподавателю дважды пришлось прибегать к контробразу: в первом случае был опущен признак, что хорда есть часть прямой линии, во втором случае – что это не вся прямая линия, а только ее отрезок. В обоих случаях понятие хорды неправомерно расширялось, но благодаря активному привлечению прошлого опыта к формированию определения понятия учащийся сам осознал свои ошибки, что и показывает данное им самим правильное определение и его дополнительные разъяснения.

Радиус. Учитель. Что называется радиусом?

1-й ученик. Отрезок, соединяющий центр с точкой на окружности, называется радиусом.

Учитель. А как ты скажешь?

2- й ученик. Линия, соединяющая центр с точкой окружности.

Учитель. Это радиус? (рис.8)

3-й ученик. Радиус - это прямая линия, соединяющая центр с точкой окружности.

Рис. 8 Рис.9

Учитель. Это радиус? (рис.9)

3-й ученик. Отрезок прямой, соединяющий центр окружности с любой ее точкой.

Заметим, что первую ошибку сделал 2-й ученик. 1-й ученик по существу дал верное определение, но учитель, вместо того чтобы поддержать определение, обратился ко 2-му ученику. Надо полагать, что это и вызвало ошибку в определении, данном 2-м учеником.

В начальный период формирования определения понятий, когда сознательная дифференцировка образов и значения слов только еще намечается, необходимо постоянное подкрепление правильных ответов учащихся, которое может быть выражено учителем в виде одобрения.

Учащиеся весьма внимательны к реакции учителя на их ответы, и даже если эта реакция выражается в том, что учитель, обойдя молчанием ответ, данный одним учеником, обращается к другому, то этот факт замалчивания первого ответа сказывается на ответе второго ученика, который может в силу этого дать неверное определение.

Сектор. Учитель. Что называется сектором?

1-й ученик. Часть круга, заключенная между радиусами, называется сектором.

Учитель. Вот часть круга, о которой ты говоришь? (рис. 10)

Рис.10

2-й ученик. Доведенная до конца.

3-й ученик. Сектор - часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Луч. Учитель. Что называется лучом?

1-й ученик. Линия, ограниченная с одной стороны, называется лучом.

Учитель. Это луч? (рис.11)

1-й ученик. Часть прямой линии, ограниченной с одной стороны.

Угол. Учитель. Что называется углом?

Ученик. Фигура, образованная из двух лучей.

Учитель. Вот твоя фигура из двух лучей (рис.12). Это угол?

Ученик. Нет. Углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Рис.11 Рис. 12

Тупой угол. Учитель. Какой угол называется тупым?

Ученик. Тупым углом называется угол, который меньше развернутого.

Учитель. Вот угол (рис. 13) меньше развернутого. Он тупой?

Рис. 13

Ученик. И больше острого…нет, больше прямого.

Параллельные прямые. Учитель. Сформулируйте определение параллельных прямых.

Ученики. Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общей точки или совпадающие.

Учитель. Иллюстрирую (рис. 14). Ваш ответ правилен?

Рис. 14

Ученики. Нет, неправильно.

Учитель. Почему это неправильно?

Ученики. Потому что прямых должно быть не три, а две.

Учитель. Значит, какое слово обязательно должно быть в определении?

Ученики. Две.

При частом употреблении учениками некоторых определений понятий последние получают «сжатый вид», и, не замечая этого, ученики допускают ошибки. Приведем примеры.

Утверждение о сравнении длин перпендикуляра и наклонной, проведенной из одной точки, учащиеся часто формулируют так: длина перпендикуляра короче длины наклонной. Здесь пропущены слова «проведенных из одной точки». Учитель демонстрирует ответ учеников на чертеже (рис. 15).

Рис. 15

Литература:

1. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. – М.: Просвещение, 1981, 95 с.

2. Таубаева Ш. Исследовательская культура учителя: методология, теория и практика формирования. – Алматы: Алем, 2000, 381 с.

3. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе.–М.: Мир, 1967, 200с.

4. Фетисов А.И. Формирование математических понятий //Известия АПН РСФСР, вып. 92. – М.: Изд-во АПН РСФСР, 1958, С.67- 91.