Акишев Г., Мырзагалиева А.Х.

Карагандинский государственный университет им. Е.А. Букетова, Караганда

ОЦЕНКИ НАИЛУЧШЕГО ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССА НИКОЛЬСКОГО-БЕСОВА

Пусть . Через обозначим пространство измеримых по Лебегу функций , для которых (см. [1])

,

где .

, если (см. [1]).

Определение 1 (см. [2]). Система функций обладает B-свойством, если существует такое , что 1) каждый полином по этой системе непрерывен и кусочно-дифференцируем, при этом длина интервалов дифференцируемости больше или равно ; 2) для него выполняется неравенство типа Бернштейна: .

Определение 2 (см. [2]). Система функций обладает R-свойством, если полином по этой системе кусочно-постоянен и длина интервалов постоянства не меньше, чем , где - константа, зависящая лишь от системы.

Замечание. В качестве примеров систем, обладающих В-свойством, укажем тригонометрическую систему, а также системы сплайн-функций, изучавшиеся в работах Чисельского и его учеников, в частности, системы Франклина и Чисельского . Примерами систем, обладающих R-свойством, могут служить системы Уолша, Хаара и их обобщения – периодические мультипликативные системы Виленкина и связанные с ними так называемые системы сходимости – при ограниченных в совокупности образующих числах .

Рассмотрим на каждом отрезке ортонормированную систему функций , удовлетворяющую или - условиям. Через обозначим декартовое произведение этой функции .

Пусть полином по данной системе. Любой полином по данной ортонормированной системе функций можно представить в виде

, (1)

где - ядро Дирихле.

Пусть , . Пространством Бесова называется множество функций , для которых

,

где , если же , то - класс Никольского.

Пусть некоторое конечное множество. Количество его элементов обозначим через . Для заданной функции положим

.

Наилучшим ортогональным приближением называется (см. [3])

.

Для заданного класса положим

.

Оценки этой величины для различных классов исследовали В.Н. Темляков [3], Э.С. Белинский [4], А.С. Романюк [5], [6].

Через будем обозначать положительные величины, зависящие от указанных в скобках параметров, различные в разных формулах.

Для краткости будем пользоваться записью , которая означает, что существуют положительные постоянные и такие, что .

Задача данной работы заключается в нахождении порядка величины для . Для этого сначала докажем неравенство Джексона - Никольского, которое будет использоваться при доказательстве основного результата.

Теорема 1 . Пусть и система функций удовлетворяет или условиям. Тогда для любого кратного полинома по этой системе имеет место неравенство

.

Доказательство. Пусть . Тогда в (1) применяя неравенство Гельдера (см. [1]), получим

(2)

для любого , где .

По определению нормы пространства справедливо следующее неравенство

. (3)

Система функций удовлетворяет или условиям, поэтому по теореме Комисарова А.А. (см. [2]) известно, что Применяя - раз данный результат, имеем

.

Тем самым из (2) следует

.

Теорема доказана.

Теорема 2 (одномерный случай). Пусть и система функций удовлетворяет или условиям. Тогда для любого полинома по этой системе имеет место неравенство

.

Доказательство. Пусть произвольный полином по системе функций . Из формулы (1) при следует

. (4)

Представим в (4) выражение под интегралом в виде

и применим для оценки интеграла неравенство Гельдера для трех функций (см. [1]) при . Тогда

.

Теперь обе части возведем в степень и проинтегрируем, применяя теорему Фубини (см. [7]) для интеграла и, возводя в степень , находим

Отсюда . Теорема доказана.

Замечание. Теорема 2 была доказана в работе Комисарова А.А. (см. [2]), выше же был приведен иной способ доказательства.

Теорема 3. Пусть и система удовлетворяет или условиям. Тогда для любого полинома по этой системе имеет место неравенство

.

Доказательство. Используем метод математической индукции. Пусть , тогда

.

Для оценки интеграла применим теорему 2 при фиксированном , т.е.

(5)

Известно, что . Данное равенство ставим во внутренний интеграл выражения (5) при фиксированном , после применяем обобщенное неравенство Минковского (см. [1]). В итоге получаем

(6)

Из (5) и (6) следует

. (7)

В неравенстве (7) обозначим через , соответственно получим

.

Теперь повторяя всю процедуру доказательства теоремы 2, получим

, где .

Пусть неравенство верно при , т.е.

, (8)

где .

Теперь докажем для . Пользуясь предположением (8), имеем

(9)

Формулу ставим во внутренний интеграл в неравенстве (9) при фиксированном , после этого применяем обобщенное неравенство Минковского (см.[1]) и в итоге получаем

. (10)

Из (9), (10) следует

.

Обозначим через , тогда получим

.

Снова повторяя процедуру доказательства теоремы 2, получим

.

Теорема доказана.

Замечание. В частности из теорем 1 и 3 следуют известные неравенства Джексона – Никольского для полиномов по тригонометрической системе и системам Уолша, Хаара [8].

Теорема 4. Пусть , и система удовлетворяет или условиям. Тогда

,

где постоянная, независящая от .

Доказательство. Известно, что , то оценку достаточно доказать для .

Пусть функция . Для выберем число так, чтобы . Также для функции рассмотрим кубическую частичную сумму . Тогда, применяя теорему 3, получим

.

Так как и , то .

Следовательно, .

Так как , то . Поэтому из доказанного неравенства следует, что . Теорема доказана.

Замечание. Точность утверждения теоремы 4 доказана для системы Уолша и тригонометрической системы. При утверждение теоремы 4 для тригонометрической системы доказал А. С. Романюк [6].

Литература:

1. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. − М.: Наука, 1975. − 480 с.

2. Комиссаров А.А. О некоторых свойствах функциональных систем// Деп. в ВИНИТИ. – М.: – 1983. - №5827-83. – С.28.

3. Темляков В.Н. О приближении периодических функций нескольких переменных // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. - № 2. – С. 301 – 305.

4. Белинский Э.С. Приближение плавающей системой экспонент на классах периодических функций с ограниченной смешанной производной// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль: ЯГУ, 1988. С. 16-33.

5. Романюк А.С. Приближение классов периодических функций многих переменных// Мат. заметки. – 2002. – Т. 71. – Выпуск 1. – С. 109-121.

6. Romanyuk A.S. Approximative characteristics of the isotropic classes of periodic functions of many variables// Ukrain. Math. Journal. – 2009. – Vol. 61. - № 4. – P. 613 – 626.

7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976 г.

8. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. − М.: Наука, 1987. − 344 с.