Акишев Г., Мырзагалиева А.Х.
Карагандинский государственный
университет им. Е.А. Букетова, Караганда
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШЕГО
ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССА НИКОЛЬСКОГО-БЕСОВА
Пусть . Через
обозначим пространство измеримых по Лебегу
функций
, для которых (см. [1])
,
где .
, если
(см. [1]).
Определение 1 (см. [2]).
Система функций обладает B-свойством, если существует такое
, что 1) каждый полином
по этой системе непрерывен
и кусочно-дифференцируем, при этом длина интервалов дифференцируемости больше
или равно
; 2) для него выполняется неравенство типа Бернштейна:
.
Определение
2 (см.
[2]). Система функций обладает R-свойством, если полином
по этой системе
кусочно-постоянен и длина интервалов постоянства не меньше, чем
, где
- константа,
зависящая лишь от системы.
Замечание. В качестве примеров
систем, обладающих В-свойством, укажем тригонометрическую систему, а также
системы сплайн-функций, изучавшиеся в работах Чисельского и его учеников, в
частности, системы Франклина и Чисельского
. Примерами систем, обладающих R-свойством,
могут служить системы Уолша, Хаара и их обобщения – периодические мультипликативные
системы Виленкина и связанные с ними так называемые системы сходимости – при
ограниченных в совокупности образующих числах
.
Рассмотрим на каждом отрезке ортонормированную
систему функций
, удовлетворяющую
или
- условиям. Через
обозначим декартовое
произведение этой функции
.
Пусть полином по данной
системе. Любой полином по данной ортонормированной системе функций можно
представить в виде
, (1)
где - ядро Дирихле.
Пусть ,
. Пространством Бесова
называется множество функций
, для которых
,
где , если же
, то
- класс Никольского.
Пусть некоторое конечное множество.
Количество его элементов обозначим через
. Для заданной функции
положим
.
Наилучшим
ортогональным приближением называется (см. [3])
.
Для заданного класса положим
.
Оценки
этой величины для различных классов исследовали В.Н. Темляков [3], Э.С.
Белинский [4], А.С. Романюк [5], [6].
Через будем обозначать
положительные величины, зависящие от указанных в скобках параметров, различные
в разных формулах.
Для
краткости будем пользоваться записью , которая означает, что существуют положительные постоянные
и
такие, что
.
Задача данной работы заключается в
нахождении порядка величины для
. Для этого сначала докажем неравенство Джексона -
Никольского, которое будет использоваться при доказательстве основного
результата.
Теорема
1 .
Пусть и система функций
удовлетворяет
или
условиям. Тогда для
любого кратного полинома по этой системе имеет место неравенство
.
Доказательство. Пусть . Тогда в (1) применяя неравенство Гельдера (см. [1]),
получим
(2)
для любого , где
.
По определению нормы пространства справедливо следующее
неравенство
. (3)
Система функций удовлетворяет
или
условиям, поэтому по
теореме Комисарова А.А. (см. [2]) известно, что
Применяя
- раз данный результат, имеем
.
Тем самым из (2) следует
.
Теорема доказана.
Теорема 2 (одномерный случай).
Пусть и система функций
удовлетворяет
или
условиям. Тогда для
любого полинома по этой системе имеет место неравенство
.
Доказательство. Пусть произвольный полином
по системе функций
. Из формулы (1) при
следует
. (4)
Представим
в (4) выражение под интегралом в виде
и применим для
оценки интеграла неравенство Гельдера для трех функций (см. [1]) при . Тогда
.
Теперь
обе части возведем в степень и проинтегрируем,
применяя теорему Фубини (см. [7]) для интеграла и,
возводя в степень
, находим
Отсюда . Теорема доказана.
Замечание. Теорема 2 была доказана в
работе Комисарова А.А. (см. [2]), выше же был приведен иной способ
доказательства.
Теорема 3. Пусть и система
удовлетворяет
или
условиям. Тогда для
любого полинома по этой системе имеет место неравенство
.
Доказательство. Используем метод
математической индукции. Пусть , тогда
.
Для оценки интеграла применим теорему 2
при фиксированном , т.е.
(5)
Известно, что . Данное равенство ставим во внутренний интеграл выражения
(5) при фиксированном
, после применяем обобщенное неравенство Минковского (см.
[1]). В итоге получаем
(6)
Из (5) и (6) следует
. (7)
В неравенстве (7) обозначим через , соответственно получим
.
Теперь
повторяя всю процедуру доказательства теоремы 2, получим
, где
.
Пусть неравенство верно при , т.е.
, (8)
где .
Теперь докажем для . Пользуясь предположением (8), имеем
(9)
Формулу ставим во внутренний
интеграл в неравенстве (9) при фиксированном
, после этого применяем обобщенное неравенство Минковского
(см.[1]) и в итоге получаем
. (10)
Из (9), (10) следует
.
Обозначим через , тогда получим
.
Снова повторяя процедуру доказательства
теоремы
2, получим
.
Теорема доказана.
Замечание. В частности из теорем 1 и
3 следуют известные неравенства Джексона – Никольского для полиномов по
тригонометрической системе и системам Уолша, Хаара [8].
Теорема 4. Пусть ,
и система
удовлетворяет
или
условиям. Тогда
,
где постоянная,
независящая от
.
Доказательство.
Известно, что , то оценку достаточно доказать для
.
Пусть
функция . Для
выберем число
так, чтобы
. Также для функции
рассмотрим кубическую
частичную сумму
. Тогда, применяя теорему 3, получим
.
Так как и
, то
.
Следовательно, .
Так как , то
. Поэтому из доказанного неравенства следует, что
. Теорема доказана.
Замечание. Точность утверждения
теоремы 4 доказана для системы Уолша и тригонометрической системы. При утверждение теоремы 4 для тригонометрической системы
доказал А. С. Романюк [6].
Литература:
1.
Бесов
О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы
вложения. − М.: Наука, 1975. − 480 с.
2.
Комиссаров
А.А. О некоторых свойствах функциональных систем// Деп. в ВИНИТИ. – М.: – 1983.
- №5827-83. – С.28.
3.
Темляков
В.Н. О приближении периодических функций нескольких переменных // Докл. АН
СССР. – 1984. – Т. 279. - № 2. – С. 301 – 305.
4.
Белинский
Э.С. Приближение плавающей системой экспонент на классах периодических функций
с ограниченной смешанной производной// Исследования по теории функций многих
вещественных переменных. Ярославль: ЯГУ, 1988. С. 16-33.
5.
Романюк
А.С. Приближение классов периодических функций многих переменных// Мат.
заметки. – 2002. – Т. 71. – Выпуск 1. – С. 109-121.
6.
Romanyuk A.S. Approximative
characteristics of the isotropic classes of periodic functions of many
variables// Ukrain. Math.
Journal. – 2009. –
Vol. 61. - № 4. – P. 613 – 626.
7.
Колмогоров
А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.:
Наука, 1976 г.
8.
Голубов
Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. − М.:
Наука, 1987. − 344 с.