Еренчинов Данияр Кагазбекович, АО «ДАСУ» г.Алматы

Разработка математической модели автоматического регулирования давления дисков с идеальным регулятором при обработке пробок шарового крана.

Все более широкое применение на трубопроводах находят шаровые краны, которые обладают всеми основными преимуществами конических кранов и имеют преимущества перед коническими: пробка и корпус крана благодаря сферической форме имеют меньшие размеры и массу, а также большую прочность и жесткость и обеспечивают гораздо лучшую герметичность. В шаровых кранах не нужны ребра жесткости, усложняющие технологию отливки и увеличивающие массу своего устройства.

Относительная технологическая сложность получения необходимого качества и низкая производительность традиционных методов обусловили необходимость разработки нового метода и устройства финишной обработки запорной поверхности сферических пробок шаровых кранов в торовых желобах между прижимаемыми друг к другу дисками.

Важным параметром является давление создаваемое пневмосистемой на верхний вращающийся диск и соответственно на пробки оказывающее существенное влияние на качество изделия и производительность обработки. Поэтому необходимость стабилизации давления привело к поиску и исследованию адекватной структуры регулятора расхода воздуха полуавтомата Д7.

В данной работе приводится случай , когда динамика – объекта описывается уравнением первого порядка, а регулятор – идеальный.

В общем случае автоматическая система регулирования давления дисков состоит из объекта - пневмоцилиндра и регулятора расхода воздуха (рисунок.1).

Рисунок 1. Структурная схема объекта с регулятором

Уравнение регулируемого объекта имеет вид [1]:

, (1)

где Т₀ - постоянная времени объекта;

- приращение давления;

- приращение расхода воздуха;

К₀ - коэффициент усиления объекта;

f(t) - внешнее возмущающее воздействие.

Уравнение идеального регулятора расхода будет

, (2)

где - коэффициент усиления регулятора.

Требуется найти процесс регулирования р(t) при любом значении возмущаемого воздействия f(t).

Путем исключения не интересующей нас промежуточной переменной найдем единое уравнение всей системы автоматического регулирования в целом, а именно: подставив из (2) в уравнение (1), получим

И перенесем член с р влево, тогда уравнение динамики системы регулирования в целом будет

(3)

Путем решения этого уравнения можно определять процесс регулирования при любом внешнем воздействии , возникающем как результат изменения нагрузки при обработке изделия.

Процесс регулирования складывается из двух частей: переходного процесса и установившегося процесса :

Математически переходной процесс определяется общим решением однородного уравнения (при =0):

, (4)

а установившийся процесс - частным решением неоднородного уравнения (3) при заданной правой части .

С точки зрения теоретической механики переходной процесс есть свободное движение системы, а установившийся процесс - вынужденное движение. С точки зрения теории колебаний первое есть собственное колебание, а второе - вынужденное колебание.

Разберем по отдельности переходной и установившийся процессы в системе с идеальным регулятором.

В данном случае характеристическое уравнение для (4) имеет вид

Корень его имеет вид

и, следовательно, переходной процесс, как решение однородного уравнения (4), будет экспонентой

(5)

где - произвольная постоянная, определяемая из заданных начальных условий процесса; в данном случае она равна начальному значению величины :

= при t = 0. (6)

Кривая переходного процесса (5) для положительного значения показана на рисунке 2

Рисунок 2. Кривая переходного процесса объекта с регулятором

Оценим характер переходного процесса в системе с идеальным регулятором по сравнению с переходным процессом в том же объекте без регулятора. Последний в данном случае представляет собой объект, в котором расход не регулируется, следовательно, объект описывается уравнением при , т.е.

(7)

Рассуждая тем же путем, найдем переходный процесс в объекте без регулятора

, (8)

где при = 0.

Кривая этого переходного процесса показана на рисунке 3.

Рисунок 3. Кривая переходного процесса объекта без регулятора

Из сравнений рисунков 2 и 3 видим, что в системе с регулятором переходный процесс затухает значительно быстрее, чем в объекте без регулятора, так как

Следовательно, присоединение идеального регулятора уменьшает постоянную времени (рисунок 2) в раз, т.е. сильно уменьшает инерционность объекта (рисунок 3), придает объекту новые динамические качества. Выбором коэффициента усиления регулятора можно по желанию менять степень инерционности системы.

Длительность переходного процесса t_c (рисунке 2), которая для экспоненты принимаемого равной приблизительно трем постоянным времени, для системы автоматического регулирования первого порядка с идеальным регулятором будет

(9)

Установившийся процесс в системе регулирования зависит от конкретной формы возмущающегося воздействия , т.е. он зависит от характера изменения нагрузки и может быть произвольным.

Рассмотрим случай мгновенного скачкообразного воздействия (рисунок 4)

Рисунок 4. Скачкообразное изменение внешнего возмущающегося воздействия

Установившийся процесс при этом находится как частное решение уравнения (3) при f(t) = const = f°:

Следовательно, объект в новом установившемся состоянии будет иметь постоянное по величине отклонение по давлению, оно называется статическим отклонением, т.е.

, (10)

где величина представляет собой систематическое отклонение давления в объекте без регулятора (при Q = 0) вследствие изменения нагрузки.

Поэтому формула (10) показывает, что присоединение к объекту регулятора уменьшает статическое отклонение давления в раз.

Наибольшая систематическая ошибка будет иметь место при наибольшем значении , чтобы ее уменьшить, надо брать по возможности больше коэффициент усиления регулятора.

Итак, процесс регулирования в случае мгновенного присоединения в соответствии с формулами (5) и (10) будет

Предположим, что до момента t=0 система была в нормальном установившемся состоянии и при t = 0 было р = 0.

Написанное выше уравнение при этих данных дает

откуда

При этом условии процесс регулирования запишется в виде

(11)

В объекте без регулятора при тех же условиях согласно уравнению (11) и Q = 0 процесс изменения давления будет

Оба процесса изображены на рисунке 5

Рисунок 5. Переходные процессы объекта с регулятором и без него

Выводы:

1. Разработана теория автоматического регулирования давления в процессе обработки изделия, рассмотрен и исследован объект с идеальным регулятором.

Литература

1. Солодовников В.В. Основы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1999, 420с.

2. Попов Е.П. Динамика систем автоматического регулирования. М.: Наука, 2002, -240с.