Шилинец В. А., Двуреченская М.Г., Бахар А.И., Гриб Т.С.

Белорусский государственный педагогический университет

МЕТОД ФОРМАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

В ряде работ [1–4] с помощью гиперкомплексных функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова (F-моногенных) [5], исследовались дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений в частных производных. В данной работе для системы дифференциальных уравнений в частных производных

(1)

где – искомые комплексные функции класса (через обозначаем класс комплексных функций от действительных переменных , имеющих непрерывные частные производные первого порядка в некоторой односвязной области плоскости ), – комплексные константы, решена следующая задача Коши.

Задача. Найти в области решение системы дифференциальных уравнений в частных производных (1), удовлетворяющее условиям

, (2)

где – известные аналитические по переменной в области функции.

Перед исследованием задачи Коши отметим, что система дифференциальных уравнений в частных производных (1) существенно отличается от системы, которая изучалась в работе [6] И.Н. Векуа.

Осуществим подстановку

(3)

Систему (1) можно, очевидно, записать в виде

(4)

Используя двойные функции и формальные производные [4, 7], легко убедиться в том, что система дифференциальных уравнений в частных производных (4) эквивалентная следующему дифференциальному уравнению в формальных производных:

, (5)

где , , , , .

Как и в работах [1, 2], доказывается, что общее решение уравнения (5) имеет вид

, (6)

где , – произвольная двойная функция, моногенная в смысле В.С. Фёдорова по функции в области , , , .

Исследуем более подробно общее решение уравнения (5), определяемое формулой (6).

Как известно [4], двойная функция , моногенная в смысле

В.С. Фёдорова по функции в области , имеет вид

, (7)

где – произвольная моногенная в смысле В.С. Фёдорова по функции () в области функция, в частности, аналитическая по переменной () в области функция, , , , , .

Заметим, что

Тогда на основании равенства (7) общее решение (6) дифференциального уравнения в формальных производных (5) можно записать в следующем виде:

Но , поэтому общее решение системы дифференциальных уравнений в частных производных (4) примет следующий вид:

(8)

Так как

(9)

, , , ,

то из равенств (8) и (9) следует

, (10)

, (11)

где – произвольная аналитическая по переменной () в области функция, т.е. , .

Пусть . Тогда из равенств (10) и (11) согласно условиям (2) получаем

,

.

Отсюда следует

, (12)

. (13)

Раскладывая правые части равенств (12) и (13) по степеням и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , определяем коэффициенты . Подставляя в формулы (10) и (11) , с найденными коэффициентами , получим решение системы (1), которое по своему построению удовлетворяет условиям Коши (2).

Задача Коши решена.

Литература

1. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Метод формальных производных для решения задачи Коши для одной системы дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения, 1993.–Т. 29.– № 11.–С.2019-2020.

2. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Решение задачи Коши для одной системы дифференциальных уравнений методом F-моногенных функций // Весці АН Беларусі. Сер. фіз.– мат. навук, 1993.–№ 3.– С. 108-110.

3. Stelmashuk N.T., Shylinets V.A. The solution of the boundary value problem for a system of equations in formal derivatives by means dual differential operators // Труды института математики НАН Беларуси, 2004.–Т.12. – № 2.– С.170-171.

4. Стельмашук Н. Т., Шилинец В. А. О преобразовании к каноническому виду системы линейных уравнений в частных производных с помощью двойных дифференциальных операторов // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.– мат. навук, 2008.–№ 2.–С. 61-65.

5. Фёдоров В.С. Основные свойства обобщенных моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958.–№ 6.–С. 257-265.

6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: ГИФМЛ, 1959.–628 с.

7. Гусев В.А. Об одном обобщении ареолярных производных // Bul. Stiint. si Tehnical Inst. Pol. Timisoara, 1962.–T. 7, f. 2.–P. 223-238.