К.Амиртаев, М.Жунисов, А.Ибадуллаева

Республика Казахстан, г.Туркестан, МКТУ им.Х.А.Ясави

Вычислительный алгоритм исследования поле

распределения температуры в сечении бруса

Рассмотрим трехмерный брус неограниченной протяженности. В декартовой системе координат ось Оz совпадает с длиной бруса. В фиксированном сечении z=const его поперечное сечение является прямоугльным четырехугольником. Ширина бруса в направлении оси Ох равна , а высота по направлению оси Оу равна . На симметричные боковые поверхности бруса и подведен тепловой поток постоянной интенсивности q. Симметричная часть нижней и верхней поверхности и теплоизолированы. Через поверхности остальной части и происходит теплообмен с окружающей ее средой (рисунок 1).

Рисунок 1 – Расчетная схема задачи

При этом коэффициент теплообмена , температура окружающей среды . Рассматриваемое сечение бруса будет расчетной областью. Эта область дискретизируется с помощью координатных линии на прямоугольные четырехугольники. Количество элементов будет (mxn), где m-число делений по оси Ох, n-по оси Оу. Для каждого элемента строится функционал полной тепловой энергии с учетом существующих граничных условии. Для всей расчетной области выражение соответствующего функционала будет как сумма функционалов для всех элементов:

. (2.4.1)

Далее минимизируя по узловым значениям температуры получается разрещающая система линейных алгебраических уравнений:

. (2.4.2)

Количество уравнений будет равно (m+1)х(n+1).

Значение параметров примем следующими

В этом случае число дискретных элементов будет mхn=60. Число узлов и уравнений (m+1)х(n+1)=77.

Рассмотрим следующую задачу. Ширины теплоизолированных поверхностей одинаковы и . В этом случае поле распределения температуры на фиксированных линиях , а также приводится на рисунках 2 и 3.

Из рисунков 2 и 3 видно, что значения температуры на точках поверхностей , где подведен тепловой поток с постоянной интенсивности q, будут до 100,2. В точках которые лежат на линии и будут в порядке 94,8 и 89. Наименьшее значение температуры соответствует к узловым точкам, координаты которых (x=6см, у=0), (x=7см, у=0), а также (x=6см, у=6см), (x=7см, у=6см). В этих узлах значения температуры будут .

Рисунок 2 – Поле распределения температуры на фиксированных линиях

Рисунок 3 – Поле распределения температуры на фиксированных линиях

Литература:

1 Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, -1979. – 392с.

2 Ноздрев В.Ф. Курс термодинамики. – М.: Мир, -1967. – 247с

3 Кудайкулов А.К. Математическое (конечно-элементное) моделирование прикладных задач распространения тепла в одномерных конструктивных элементах. – Туркестан: Байтерек, -2009. – 168 с.

4 Писаренко Г.С. и др. Сопротивление материалов. – Киев: Высшая школа, -1973. – 672с.