Панченко Р.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

ОСОБЛИВОСТІ ВПЛИВУ ТЕПЛОВОГО ФАКЕЛУ

Якщо температура комплектувальних елементів обладнання змінюється, то поряд з напруженнями, зумовленими силовим впливом, можуть з’явитися так звані температурні напруження. Обчислення їх становить предмет температурної задачі теорії пружності. Очевидно, що значення та закон розподілу температурних напружень певною мірою залежать від змін температури механічного елемента, яка визначається розв’язком задачі теплопровідності. Тому цілком слушно температурну задачу теорії пружності розглядати в комплексі з відповідною задачею теорії теплопровідності.

Повніше уявлення щодо цього питання, а також розв’язання багатьох конкретних задач можна знайти в монографіях М. М. Лебедєва, Е. Мелана і Г. Паркуса, В. Новацького, Г. Карслоу і Д. Егера, О. Д. Коваленка та ін., які присвячені температурним задачам теорії пружності та задачам теорії теплопровідності.

Розглянемо ізотропне нерівномірно нагріте тіло. Температурне поле вважатимемо відомим і не залежним від напруженого стану. Ступінь впливу змін об’єму, які спричиняються напруженнями, на теплове поле досить незначний і в технічних задачах може не братися до уваги.

Нагадаємо деякі відомості з теорії пружності. Деформацією називають зміну відстані між точками тіла. Нехай та – складові зсуву, які відчуваються точками тіла (рис. 1). Квадрат елемента довжини

після деформації дорівнюватиме

де (1)

Інші компоненти мають аналогічну структуру і визначаються коловою перестановкою індексів. Сукупність величин утворює симетричний тензор другого рангу.

Будь-яка деформація може бути здійснена простими розтяганнями (головними подовженнями) у трьох взаємно перпендикулярних напрямках (головних напрямках).

У разі малої деформації компоненти тензора деформації досить малі порівняно з одиницею. Якщо незначними є також кути повороту, то у формулах (1) можна відкинути квадратичні доданки.

Отже, маємо формули Коші:

де – відносні подовження відповідно в напрямках осей – відносні зсуви (зміни початково прямих кутів відповідно між напрямками ).

Відносна зміна об’єму

Закон Гука для теплових розширень. Якщо температура твердого тіла, що деформується, змінюється на величину , яка загалом є функцією координат і часу, то в ньому можуть виникати напруження, зумовлені несумісністю власне теплової деформації. Щоб упевнитися в цьому, подумки поділимо тіло на малі елементи так, щоб усередині кожного з них температуру можна було вважати рівномірно розподіленою. Тоді кожен з елементів, не зазнаючи опору з боку сусідніх, матиме лише теплове розширення, яке характеризується, в разі ізотропного тіла, компонентами тензора температурної деформації

де – температурний коефіцієнт лінійного розширення.

Якщо теплова деформація несумісна, тобто деформовані елементи не становлять суцільного тіла, то в ньому можуть виникнути внутрішні (температурні) напруження, які поновлюють його суцільність. Цими напруженнями в пружному ізотропному тілі зумовлені компоненти тензора силової деформації:

(2)

де – модуль пружності; – нормальне напруження; – коефіцієнт Пуасона. Ці величини мають бути такими, щоб компоненти тензора повної деформації

(3)

задовольняли умову суцільності. Тензор повної деформації є потенційним і для нього характерні співвідношення Коші.

Якщо з формул (2) і (3) вилучимо компоненти тензора силової деформації, то дістанемо співвідношення

(4)

які узагальнюють закон Гука в разі зміни температури тіла на величину .

Відносна зміна об’єму тіла

де

Після розв’язання рівнянь (4) відносно напружень дістанемо:

(5)

Рівняння термопружності в переміщеннях. Застосувавши принцип додавання дії сил, можна знайти температурні переміщення та напруження при нульових значеннях зовнішніх сил, а потім підсумувати знайдені величини зі зміщеннями та напруженнями, які виникають від дії заданих навантажень.

У диференціальні рівняння рівноваги

(6)

підставимо вирази (5) і вилучимо об’ємні сили у лівих частинах рівнянь та інерційні члени та у правих частинах (тут густина тіла; ). Після цих дій матимемо рівняння термопружності в переміщеннях:

(7)

де – оператор Лапласа.

Плоска задача. Виходячи з припущень, які приймаються під час формулювання плоскої задачі теорії пружності, замість співвідношень (4) запишемо:

(8)

де для плоскої деформації замість треба взяти

а також

У разі узагальненого плоского напруженого стану (тонкі пластини) в рівняннях (8) під компонентами напружень і температурою слід розуміти їх середні за товщиною значення

Щоб уникнути можливості згину тонкої пластини з її серединної площини, функцію треба будувати симетричною відносно цієї площини. Тут введено поточне значення часу .

Температурне поле, не симетричне відносно серединної площини пластини, може призвести до її прогину. Виходячи із звичайних у теорії згину тонких пластин припущень і користуючись співвідношеннями (4) для виявлення напружень у плиті, зумовлених її прогином дістаємо:

(9)

Аналогічно для моментів і перерізувальних сил:

(10)

де відстань до точки від серединної поверхні; товщина пластини; скручувальний момент; циліндрична жорсткість.

У загальному випадку нагрівання в тонкому плоскому елементі можуть виникати напруження згину та напруження, що відповідають узагальненому плоскому напруженому стану. Тоді спільний напружений стан через лінійність задачі визначиться за формулами

(11)

Отже, для визначення напружень у разі плоскої деформації потрібно знати плоске температурне поле . Для обчислення середніх за товщиною напружень і згинальних моментів тонких плоских елементів треба знайти середні відносно товщини значення температури і , а для виявлення напружень – також і температуру .

Якщо температура тіла не залежить від координати , то маємо плоске температурне поле. Воно можливе, наприклад, у циліндричних тілах довільної довжини, у тому числі в тонких пластинах, торцеві поверхні яких теплоізольовані, а початкові умови

та граничні однакові на циліндричних поверхнях у будь-якому поперечному перерізі. При цьому температура за умов ідеального теплового контакту двох тіл задовольнятиме двовимірне рівняння теплопровідності

(де температуропровідність; теплопровідність; теплоємність одиниці об’єму), початкову умову

та одну з граничних умов на контурі, який обмежує поперечний переріз тіла:

гранична умова першого роду;

гранична умова другого роду;

на при гранична умова третього роду;

на при гранична умова четвертого роду. Тут зовнішня нормаль до поверхні тіла; відносний коефіцієнт тепловіддачі у середовище з температурою ; абсолютний коефіцієнт тепловіддачі; межа тіла.

Очевидно, що визначення плоского поля зводиться до двовимірної крайової задачі теплопровідності.

Довге циліндричне тіло. Позначимо через поздовжню вісь. Осьове переміщення вважатимемо нульовим, а температуру – незалежною від координати , тобто

Нехай зовнішні навантаження відсутні. Тоді

(12)

Якщо довге циліндричне тіло має вільні від закріплень торці, то воно може подовжуватись і . Напруження, обчислені за формулою (12), зумовлюють появу осьового зусилля і двох моментів – та . Випадок вільних торців можна отримати, якщо додати до напруження за формулою (12) напруження від стискної сили та напруження від дії згинальних моментів і .

Функція напружень

задовольняє диференціальне рівняння

Температурні напруження в охолоджуваному ребрі. Припустимо, що до тіла з температурою приєднане тонке ребро шириною і товщиною (рис. 2). Поверхні віддають тепло в навколишнє середовище температурою . Напруження в ребрі

де –коефіцієнт теплопередачі; коефіцієнт теплопровідності.

Напруження в тонкому коловому диску за вісесиметричного поля температури. У цьому разі . За незмінної товщини диска напруження в умовах довільного теплового поля обчислюються за формулами

де радіус диска.

Напруження в коловому диску, спричинені джерелом тепла, розміщеним у його центрі. Нехай маємо потужність джерела і контур диска зі сталою температурою . Тоді

де

Напруження в довгій смузі за умови одновимірного розподілу температури (рис. 3). Нехай . Тоді в усіх випадках закріплення смуги а .

Отже, маємо:

якщо кінці смуги закріплені;

якщо кінці смуги вільні від закріплень і ;

якщо кінці смуги вільні від закріплень, а температурне поле несиметричне.