Математика. Дифференциальные и интегральные уравнения

асп. Карабутова Т.В.

Белгородский государственный университет, Россия

Построение глобальных решений
уравнений химической кинетики

Введение. Во многих задачах теоретической физики возникают автономные динамические системы, решения которых, по смыслу математической модели, должны сохранять свойство неотрицательности и, более того, должны быть ограниченными. Таковыми являются динамические системы, координаты траекторий которых представляют собой, по своему физическому смыслу, плотности числа частиц, концентрации, температуры и т.д. Примерами таких систем являются уравнения химической кинетики [1], уравнения математических моделей экологии [2]. В более общей ситуации распределённых систем таковыми являются кинетические уравнения статистической физики (см., например, [3]) такие, как, например, уравнение Больцмана. Наконец, самым простым примером такого рода является нелинейное уравнение теплопроводности (см., например, [4]). Если перечисленные динамические системы и им подобные, действительно, обладают свойством сохранения неотрицательности решений, то к решению проблемы существования у них глобальных (продолжаемых на ) неотрицательных решений можно применить специальный вероятностный метод, как было указано в [5], [6]. Этот метод основан на идее о связи неотрицательных решений динамических систем такого рода с частными одноточечными распределениями вероятностей подходящим образом построенных, необрывающихся случайных процессов на . Реализация этой идеи основывается на построении таких процессов посредством слабо сходящейся последовательности необрывающихся случайных процессов, которые задаются конструктивно. Доказательство же слабой сходимости этой последовательности базируется на критерии слабой компактности множества мер, заданных на соответствующем сепарабельном метрическом пространстве. В настоящей работе мы осуществляем описанное построение для систем уравнений химической кинетики.

Описание динамической системы. Будем рассматривать динамические системы следующего вида

(1)

- динамическая система в , где , и - непрерывное отображение. Относительно отображения будем предполагать следующее.

Введём для любого и множества , которые будем называть усечёнными -конусами. Будем считать, что либо , либо при существует такое число , для которого имеет место . В частности, при . Кроме того, будем считать, что существует матриц-функция , значениями которой являются неотрицательные -матрицы, такая, что отображение представимо в виде .

Приведём систему (1) к канонической системе, решения которой допускают вероятностную интерпретацию. С этой целью, для каждого , определим вектор , с компонентами . Тогда отображение переводит в себя, а динамическая система, соответствующая системе (1), записывается в виде

, (2)

где введена -матрица . Наконец, в области определим компоненту расширенного вектора , для которой имеет место , а матричные элементы , , матрицы определяются формулами , и

. (3)

Так как , то матричный элемент (3) неотрицателен.

Можно считать, что расширенная -матрица зависит функционально от расширенного вектора и, поэтому, далее мы будем записывать её в виде . Она, по построению, является стохастической, так как

. (4)

В пространстве динамическая система (2) имеет вид

, (5)

который мы будем называть каноническим. Система (5) не только сохраняет неотрицательность компонент вектор-функции , но и сохраняет нормировку вектора : . Существенно, что многие динамические системы в теоретической физике, имеющие вид (1), естественным образом, исходя непосредственно из физической постановки задачи, записываются в канонической форме (5).

Динамические системы (1), в общем случае, не обязаны иметь глобальные решения. В том случае, когда они всё же имеют такие решения (при выполнении наложенных выше условий на отображение ), то пространство состоит из областей с начальными данными: 1) у которых решения продолжаются по времени на всю полуось и 2) у которых решения не продолжаемы, начиная с какого-то момента времени, зависящего от начальных данных. Результатом этой работы является доказательство существования областей первого типа. Проиллюстрируем сказанное простейшим примером. Пусть и система (1) представляется уравнением . Тогда при переводится отображением внутрь отрезка и, поэтому, внутри этого отрезка имеются глобальные решения , где . При с начальными данными , решения непродолжаемы.

Пространство кусочно-постоянных функций. Построение случайного процесса , траектории которого принимают значения , и посредством которого будет доказано существование глобального решения уравнения (2), мы реализуем в виде слабого предела последовательности конструктивно определённых случайных процессов . При этом случайные реализации процессов , которые представляют собой кусочно-постоянные функции, должны при каждом быть элементами сепарабельного метрического пространства . Общей конструкцией для решения задач такого рода является т.н. пространство Скорохода [7] функций, не имеющих разрывов второго рода. Однако, ввиду сложности применения этого пространства для решения нашей задачи, мы введём здесь намного более простую конструкцию – пространство кусочно-постоянных функций, имеющих конечное множество скачков, которая, однако, имеет более узкую область применимости.

Каждая из функций определяется конечной упорядоченной по возрастанию последовательностью точек разрыва и последовательностью скачков, имеющую такую же длину, что и последовательность , где . Скачки поставлены во взаимно однозначное соответствие с компонентами последовательности . Функции предполагаются непрерывными справа. Заметим, что значение не исключается. Каждая из функций однозначно определяется соответствующими ей последовательностями и следующим образом , если положить .

Введём на пространстве такую метрику, которая превращает его в сепарабельное метрическое пространство. Определим для каждой пары функций , соответствующих последовательностям , , двухместный функционал , где скачки и упорядочены в порядке возрастания точек и , соответственно. У функций число точек разрыва может не совпадать. Если функция имеет точек разрыва, а функция - точек разрыва и , то считаем, что , и, в этом случае, функционал принимает вид

.

Функционал на обладает следующими свойствами: 1) , 2) , 3) , и, поэтому, является уклонением [8] функций и друг от друга. Данное уклонение не является расстоянием, т.к. из не следует . Наряду с уклонением , введем в пространстве двухместный функционал , значение которого для той же пары функций и определяется формулой . Этот функционал также является уклонением для этих функций, т.е. для него также имеют место свойства 1)-3), однако, из равенства не следует, что . В случае, если функция имеет точек разрыва, а функция - точек разрыва, то при считаем, что . Так как выполнение свойств 1)-3) имеет место также для суммы , и, кроме того, из равенств , следует совпадение функций , то имеет место

Теорема 1. Функционал

(6)

является расстоянием в пространстве .

Пространство , снабжённое метрикой , превращается в метрическое пространство, и для него имеет место

Теорема 2. Пространство с метрикой (6) является сепарабельным.

Доказательство. Рассмотрим подмножество , которое состоит из всех кусочно-постоянных функций, имеющих рациональные значения скачков в рациональных точках разрыва. Подмножество является счетным. Докажем, что всюду плотно в . Выберем произвольное . Рассмотрим произвольную функцию , имеющую точек разрыва на , которая определяется последовательностью пар .

Рассмотрим такое приближение функции функцией , определяемой последовательностью пар , где , для которого выполняются неравенства , . Тогда . В силу произвольности и функции получаем, что всюду плотно в . ■

Очевидно, что пространство представимо в виде объединения пространств кусочно-постоянных функций на , имеющих ровно скачков. Эти пространства представляют собой компактные множества в метрике в пространстве .

Построенное пространство , очевидным образом, неполно. Однако, это обстоятельство несущественно для построения слабых пределов последовательности случайных процессов, реализации которых принадлежат этому пространству (см. по этому поводу [7]).

Случайное число переходов. Получим формулу, которая нам понадобится впоследствии для оценки математического ожидания случайного числа перескоков между состояниями в случайной реализации неоднородной марковской цепи.

Пусть имеется последовательность стохастических -матриц , т.е. их матричные элементы неотрицательны и имеет место

. (7)

Эта последовательность порождает марковскую цепь с реализациями такую, что вероятности определяются рекуррентно на основе вектора распределения вероятностей .

Каждому отрезку случайной реализации цепи сопоставим значение случайной величины - число переходов в случайной реализации , которые происходят к моменту времени . Оно определяется рекуррентно, согласно правилу , если и , если . Для получения основного результата работы нам понадобится верхняя оценка для математического ожидания . В связи с этим, определим матрицы с матричными элементами при и и докажем следующее утверждение.

Теорема 3. Имеет место формула

. (8)

Доказательство. Обозначим . Тогда, ввиду определения случайной величины , последовательность пар представляет собой марковскую цепь и, поэтому, при , имеет место рекуррентное соотношение . Из этого соотношения получается нижеследующее разностное уравнение по переменной для условного математического ожидания , а именно,

.

Так как , то, в совокупности с начальным условием , это уравнение имеет решение , которое совпадает с (8). ■

Следствие. Если матричные элементы матриц допускают равномерную оценку , то имеет место неравенство

. (9)

Оно непосредственно вытекает из (8) при учёте условия нормировки .

Аппроксимирующие случайные процессы. Построим теперь последовательность случайных процессов с целочисленными значениями , слабо сходящуюся к процессу , частное одноточечное распределение вероятностей которого удовлетворяет уравнению (5).

Пусть для фиксированного задана случайная последовательность , компоненты которой принимают значения . Пусть последовательность имеет распределение вероятностей . На основе этой последовательности определим случайный процесс с кусочно-постоянными реализациями , которые определяются формулой при . Тогда распределение вероятностей индуцирует распределение вероятностей случайного процесса . Таким образом, для достижения поставленной цели, необходимо подходящим образом выбрать распределение вероятностей случайной последовательности . Для этого, посредством следующего рекуррентного соотношения, определим распределения вероятностей по значениям

, (10)

где распределение вероятностей нулевой компоненты последовательности равно . Компоненты последовательности представляют собой одноточечные распределения вероятностей случайной последовательности . Для того чтобы полностью определить вероятностную меру последовательности , нужно задать согласованным образом все многоточечные распределения вероятностей , . Эти вероятности мы определим формулой . Легко видеть, что, благодаря такому определению, выполняются условия согласованности . Тем самым вероятностная мера полностью определена. Данное нами определение обеспечивает справедливость следующего утверждения.

Теорема 4. Если при любом последовательность случайных процессов с кусочно-постоянными траекториями, принимающими значения из , слабо сходится к процессу , траектории которого также кусочно-постоянны с тем же множеством значений, то одноточечное распределение вероятностей процесса удовлетворяет уравнению (5) и при имеет место .

Доказательство. Из слабой сходимости случайных процессов к случайному процессу следует, что частные одноточечные распределения вероятностей процессов , которые представляют собой -компонентные вектор-функции, слабо сходятся при каждом к некоторой вектор-функции , которая при каждом из указанных является распределением вероятностей на . Но, для распределения вероятностей на конечном множестве , понятие слабой сходимости совпадает с понятием поточечной сходимости для каждой компоненты распределений, т.е. имеет место , , при каждом . Таким образом, имеет место сходимость распределений к при . Тогда, из формулы (10) находим

. (11)

Так как для частных одноточечных распределений случайных процессов имеет место , если , то из (11) следует

.

Переходя к пределу при в этом равенстве, находим

, (12)

где сходимость правой части к пределу, в силу непрерывности отображения при , влечёт существование предела при в левой части, т.е. существование производной по . Уравнение (12) совпадает с (5). При этом, так как произвольно, построенное решение уравнения (5) в виде предела функций существует при .■

Таким образом, для получения основного результата работы, необходимо доказать, что семейство вероятностных мер , связанных с процессами , слабо компактно. Для установления этого факта воспользуемся известным критерием Прохорова слабой компактности мер (см., например, [9]). Этот критерий, в применении к рассматриваемому нами построению, состоит в следующем.

Если на метрическом пространстве задано семейство мер , , для которого существует функционал такой, что для любого множества являются предкомпактными и имеет место равномерная по оценка , то это семейство мер является слабо компактным.

Теорема 5. Последовательность вероятностных мер процессов слабо компактна.

Доказательство. Сопоставим каждой кусочно-постоянной на функции число , равное числу её скачков на . Заметим, что для случайных реализаций процессов имеет место , где .

Далее, так как пространства - компактные подмножества в пространстве относительно метрики , то множества компактны. Поэтому, при применении критерия Прохорова к семейству , в качестве функционала , можно выбрать функционал .

Докажем равномерную ограниченность математического ожидания . Введём стохастические, в силу (4), -матрицы , для которых выполняется (7). Тогда . Ввиду стохастичности матриц при всех , имеют место неравенства . Следовательно, . Используя элементарное неравенство , справедливое при , получим, на основании (9) при , равномерную по оценку

. ■

Следствие. Из теорем 4 и 5 следует, что уравнение (5) имеет решение , удовлетворяющее условию .

Литература:

1. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. – 528 с.

2. Свирежев Ю.Н. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987. - 366 с.

3. Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. Методы статистической физики. М.: Наука, 1977. – 368 с.

4. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепло- массопереноса. М.: Наука, 1987. – 352 с.

5. Вирченко Ю.П., Карабутова Т.В. Построение случайных процессов для описания вероятностных решений дифференциальных уравнений. Вестник Херсонского национального технического университета. 2006 25(2) – с. 116-120.

6. Вирченко Ю.П., Карабутова Т.В. Слабая сходимость случайных процессов и разрешимость уравнения Больцмана. Дифференциальные уравнения, Известия Российской академии естественных наук, 11, с. 57-62 (2006).

7. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов, т. II. М.: Наука, 1973.

8. Бурбаки Н. Общая топология. Книга третья. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. М.: Наука, 1975. – 408 с.

9. Малышев В.А., Минлос В.А. Гиббсовские случайные поля. М.: Наука, 1985. – 288 с.