Математика (4. Прикладная математика)

УДК 539.375

КИПНИС Л.А., д-р физ.-мат. наук, ХАЗИН Г.А., канд. физ.-мат. наук,

КОЛМАКОВА В.А., ПОЛИЩУК Т.В.

Уманский государственный педагогический университет им. П.Тычины

О МОДЕЛИ ЗОНЫ ПРЕДРАЗРУШЕНИЯ В КОНЦЕ ТРЕЩИНЫ НОРМАЛЬНОГО РАЗРЫВА В КУСОЧНО-ОДНОРОДНОМ УПРУГОМ ТЕЛЕ

В работе [1] осуществлен расчет пластической зоны предразрушения в конце трещины нормального разрыва в однородном изотропном теле в рамках модели с двумя линиями разрыва смещения. В данной работе в условиях плоской симметричной задачи в рамках подобной модели осуществляется расчет зоны предразрушения в конце трещины в изотропном упругом теле, выходящей на негладкую границу раздела сред.

В условиях плоской деформации в рамках симметричной задачи рассмотрим кусочно-однородную изотропную упругую область с границей раздела сред в форме сторон угла, содержащую трещину, исходящую из вершины. Материал связующего слоя является однородным изотропным упругим материалом, более хрупким, чем материалы частей, составляющих область. Уже при сколько угодно малых внешних нагрузках вблизи конца трещины появляется зона предразрушения. Будем изучать лишь начальную стадию ее развития, считая внешние нагрузки достаточно малыми. В силу свойства материала связующего слоя зона предразрушения будет развиваться вдоль границы раздела сред в виде пары узких полосок, исходящих из конца трещины. Связующий слой предполагается настолько тонким, что его можно считать линией, на которой формулируются соответствующие граничные условия.

Поскольку в зоне предразрушения преимущественные деформации развиваются по механизму отрыва, полоску-зону будем моделировать линией разрыва нормального смещения, на которой нормальное напряжение равно заданной постоянной материала связующего слоя .

С учетом малости зоны предразрушения приходим к соответствующей статической задаче теории упругости для плоскости с полубесконечной трещиной (рисунок).

Граничные условия задачи имеют следующий вид:

(1)

Здесь - скачок .

На бесконечности реализуется асимптотика, представляющая собой известное решение аналогичной задачи без линий разрыва на границе раздела сред, порождаемое наименьшим в интервале ]-1;0[ корнем ее характеристического уравнения. Произвольная постоянная C, входящая в это решение, считается заданной. Она характеризует интенсивность внешнего поля и должна определяться из решения внешней задачи.

Для построения решения задачи теории упругости с граничными условиями (1) используется метод Винера-Хопфа в сочетании с аппаратом интегрального преобразования Меллина [1-3].

Длина зон предразрушения выражается формулой вида

(2)

где L – известная функция.

Формула (2) устанавливает закон развития начальной зоны предразрушения вблизи конца рассматриваемой трещины.

Определяются главные члены разложений напряжений в асимптотические ряды при . В частности, имеет место формула вида

Здесь - известные функции; - функция, стремящаяся к нулю при ; - единственный на интервале ] –1;0 [ корень уравнения

При тех значениях параметров задачи, при которых уравнение (4) такого корня не имеет, в (3) отсутствует первое слагаемое.

Анализ полученных результатов позволят сделать следующие выводы. В определенных промежутках изменения параметров угловая точка О является особой точкой рассматриваемой задачи теории упругости. Она представляет собой концентратор напряжений со степенной особенностью. Стремление напряжений к бесконечности при соответствует тому, что часть зоны предразрушения, находящаяся вблизи конца трещины, является областью деструкции материала, уровень напряжений в которой чрезвычайно высок. Показатель степени сингулярности напряжений зависит от угла , отношения модулей Юнга и коэффициентов Пуассона .

Существуют промежутки изменения параметров, в которых угловая точка О не является концентратором напряжений. Так, например, при с увеличением угла от нуля до концентрация напряжений в области деструкции материала усиливается, а с увеличением его от до – ослабевает . При угловая точка О не является концентратором напряжений. С уменьшением угол увеличивается и стремится к при , а угол уменьшается и при стремится к единственному корню уравнения , приблизительно равному 51,3^º. Угол и уменьшаются с уменьшением , причем , а при . Значения при некоторых значениях приведены в таблице.

	1/3	1/5	1/7	1/10	1/100	1/1000
	61,2	54,8	54,6	54,5	51,9	51,6
	69,1	84,4	84,9	85,1	88,5	89,4
	18,6	14,8	11,9	10,4	3,2	2,3
	0,1732	0,2361	0,2736	0,3060	0,4589	0,4938

С ростом угла от до концентрация напряжений в области деструкции материала усиливается, причем .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ: 1. Черепанов Г.П. Пластические линии разрыва в конце трещины // Прикладная математика и механика. 1976.Т.40, №4. С.720-728. 2. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М., 1962. 279 с. 3. Кипнис Л.А. Краевая трещина на границе различных сред // Прикладная математика и механика. 1978.Т.42, №2. С.350-354.