Юшанов С. В.

Кафедра Радиофизики

Волгоградский государственный университет

Оценивание мгновенной частоты широкополосных сигналов с медленно меняющимися амплитудой и фазой

Во многих прикладных задачах информация о системе или о процессах, протекающих в ней, содержится в мгновенной частоте и огибающей некоторого колебания , где – его аналитическая огибающая, – полная фаза. Мгновенная частота определяется как производная полной фазы аналитического сигнала, построенного на основе исследуемого колебания с помощью преобразования Гильберта: . Если предположить, что на некотором временном интервале сигнал является процессом с медленно меняющимися амплитудой и фазой, то есть выполняются следующие условия:

(1)

можно положить , . В этом случае на интервале сигнал будет иметь следующий вид: , где .

Подвергнем исследуемый сигнал дискретизации с шагом , удовлетворяющим условию Найквиста, и предположим, что на интервале величины и удовлетворяют (1). Обозначив , , , на интервале можно записать:

(2)

Последовательность (2) можно представить в виде: , где , а , что соответствует модели, используемой в модифицированном методе Прони. Согласно этому методу, отсчеты последовательности (2) должны удовлетворять уравнению линейного сглаживания вида

(3)

а являться корнем полинома . Из этих соотношений легко получить выражение для оценивания мгновенной частоты:

(4)

где

Также, в рамках рассматриваемой модели, коэффициент авторегрессии должен удовлетворять условию . Если применить выражение (4) для обработки набора фрагментов сигнала, лежащих на примыкающих отрезках времени, можно получить динамику изменения мгновенной частоты сигнала.

Данный метод прекрасно работает в отсутствии шумов в широком диапазоне изменения шага дискретизации , однако наличие шумов резко снижает точность. Запишем (2) с учетом малого аддитивного шума и добавим флуктуации параметров сигнала:

Считая, что отклонения малы по сравнению с самими величинами, а является узкополосным случайным процессом с нулевым средним и среднеквадратичным отклонением (СКО) , для СКО отклонения мгновенной частоты справедливо:

(5)

На рис. 1 приведены примеры зависимостей, рассчитанных по этой формуле, при различных уровнях аддитивного шума и начальной фазы . Здесь же точками показаны соответствующие экспериментальные значения СКО оценки частоты по формуле (4) гармонического сигнала с шумом. Они получены при усреднении по 500 реализациям процесса для 30 частот.

Рис. 1. СКО оценки мгновенной частоты гармонического сигнала с аддитивным шумом в зависимости от его частоты и уровня шума

Видно, что результаты численного моделирования хорошо ложатся на кривые, построенные по формуле (5). Выражение для дисперсии частоты (5) сингулярно в точках , , . Последнее соответствует случаю, когда средний из трех рассматриваемых отсчетов равен нулю: , .

Для повышения точности оценивания, несомненно, нужно увеличивать количество отсчетов на интервале измерения. В этом случае для нахождения в соотношении (4) следует использовать метод наименьших квадратов Прони. При этом рассматривается скользящее окно , где , а требования на медленность изменения и усиливаются. Тогда вместо уравнения (3) получится система уравнений вида

которая легко решается методом наименьших квадратов:

(6)

После вычисления из выражения (6) можно найти оценку мгновенной частоты по формуле (4).

Величины и могут быть вычислены с помощью рекуррентных соотношений:

(7)

что позволяет существенно сократить количество операций, необходимых для вычисления мгновенной частоты. При таком подходе объем вычислений остается фиксированным, так как расчет и требует только шести операций сложения и четырех операций умножения и не зависит от числа отсчетов сигнала в интервале измерения .

Проведенное численное моделирование подтвердило возможность использования предлагаемого метода для оценивания мгновенной частоты как узкополосных, так и широкополосных сигналов.

Для предложенного метода оценки частоты сигнала статистическим моделированием была исследована его помехоустойчивость. Предполагалось, что исследуемый гармонический сигнал принимается на фоне белого нормального шума с нулевым средним и СКО , то есть частота определялась по выборке значений сигнала Значение амплитуды сигнала принимали равной , а начальная фаза сигнала задавалась случайными числами, равномерно распределенными в интервале . При различных отношениях фиксированного времени получения выборки значений сигнала к периоду сигнала накапливалась статистика погрешности определения частоты (200 значений) и определялись отклонение усредненной оценки частоты от истинного значения и СКО от усредненной оценки. Исследовали зависимость относительной погрешности измерения частоты от отношения при различных уровнях шума .

На рис. 2 представлены результаты для выборки из значений сигнала на интервале измерения . Видно, что для этого метода характерно наличие диапазона отношений , в котором обеспечивается минимум , и он всегда находится в окрестности . При погрешность принимает значения менее 3 % в интервале частот , а для – в диапазоне .

Рис. 2. Зависимость относительной погрешности измерения частоты от отношения и уровня шума

Выражения (4), (6) и (7) позволяют построить достаточно простую цифровую систему для оценивания мгновенной частоты, которая обновляет оценку при поступлении очередного отсчета сигнала. Достоинства данного метода оценивания состоят в том, что аппаратные затраты на его реализацию чрезвычайно низки, а количество операций на каждом отсчете сигнала фиксировано и не зависит от длины окна наблюдения . При использовании современных цифровых сигнальных процессоров (например, ADSP-2191M) можно обрабатывать сигналы с частотой дискретизации до нескольких десятков мегагерц.