Юшанов С. В.
Кафедра Радиофизики
Волгоградский государственный университет
Оценивание
мгновенной частоты широкополосных сигналов с медленно меняющимися амплитудой и
фазой
Во многих
прикладных задачах информация о системе или о процессах, протекающих в ней,
содержится в мгновенной частоте и огибающей некоторого колебания , где
– его аналитическая
огибающая,
– полная фаза.
Мгновенная частота
определяется как производная
полной фазы аналитического сигнала, построенного на основе исследуемого
колебания с помощью преобразования Гильберта:
. Если предположить, что на некотором временном интервале
сигнал является
процессом с медленно меняющимися амплитудой и фазой, то есть выполняются
следующие условия:
|
(1) |
можно положить ,
. В этом случае на интервале
сигнал будет иметь
следующий вид:
, где
.
Подвергнем
исследуемый сигнал дискретизации с шагом , удовлетворяющим условию Найквиста, и предположим, что на
интервале
величины
и
удовлетворяют (1).
Обозначив
,
,
, на интервале
можно записать:
|
(2) |
Последовательность (2) можно
представить в виде: , где
, а
, что соответствует модели, используемой в модифицированном
методе Прони. Согласно этому методу, отсчеты последовательности (2) должны
удовлетворять уравнению линейного сглаживания вида
|
(3) |
а являться корнем
полинома
. Из этих соотношений легко получить выражение для
оценивания мгновенной частоты:
|
(4) |
где
|
|
Также, в рамках рассматриваемой модели,
коэффициент авторегрессии должен удовлетворять
условию
. Если применить выражение (4) для обработки набора
фрагментов сигнала, лежащих на примыкающих отрезках времени, можно получить
динамику изменения мгновенной частоты сигнала.
Данный метод
прекрасно работает в отсутствии шумов в широком диапазоне изменения шага
дискретизации , однако наличие шумов резко снижает точность. Запишем (2) с
учетом малого аддитивного шума и добавим флуктуации параметров сигнала:
|
|
Считая, что отклонения малы по
сравнению с самими величинами, а является узкополосным
случайным процессом с нулевым средним и среднеквадратичным отклонением (СКО)
, для СКО отклонения мгновенной частоты справедливо:
|
(5) |
На рис. 1
приведены примеры зависимостей, рассчитанных по этой формуле, при различных
уровнях аддитивного шума и начальной фазы
. Здесь же точками показаны соответствующие экспериментальные
значения СКО оценки частоты по формуле (4) гармонического сигнала с шумом. Они
получены при усреднении по 500 реализациям процесса для 30 частот.
Рис. 1. СКО оценки мгновенной
частоты гармонического сигнала с аддитивным шумом в зависимости от его частоты
|
Видно, что результаты численного
моделирования хорошо ложатся на кривые, построенные по формуле (5). Выражение
для дисперсии частоты (5) сингулярно в точках ,
,
. Последнее соответствует случаю, когда средний из трех
рассматриваемых отсчетов равен нулю:
,
.
Для повышения
точности оценивания, несомненно, нужно увеличивать количество отсчетов на
интервале измерения. В этом случае для нахождения в соотношении (4) следует
использовать метод наименьших квадратов Прони. При этом рассматривается
скользящее окно
, где
, а требования на медленность изменения
и
усиливаются. Тогда
вместо уравнения (3) получится система уравнений вида
|
|
которая легко решается методом наименьших квадратов:
|
(6) |
После вычисления из выражения (6) можно
найти оценку мгновенной частоты по формуле (4).
Величины и
могут быть вычислены с
помощью рекуррентных соотношений:
|
(7) |
что позволяет существенно
сократить количество операций, необходимых для вычисления мгновенной частоты. При
таком подходе объем вычислений остается фиксированным, так как расчет и
требует только шести
операций сложения и четырех операций умножения и не зависит от числа отсчетов
сигнала
в интервале измерения
.
Проведенное численное моделирование подтвердило возможность использования предлагаемого метода для оценивания мгновенной частоты как узкополосных, так и широкополосных сигналов.
Для
предложенного метода оценки частоты сигнала статистическим
моделированием была исследована его помехоустойчивость. Предполагалось, что исследуемый гармонический
сигнал принимается на фоне белого нормального шума
с нулевым средним и
СКО
, то есть частота определялась по выборке значений сигнала
Значение амплитуды
сигнала принимали равной
, а начальная фаза сигнала
задавалась случайными
числами, равномерно распределенными в интервале
. При различных отношениях фиксированного времени получения
выборки значений сигнала
к периоду сигнала
накапливалась
статистика погрешности определения частоты (200 значений) и определялись
отклонение
усредненной оценки
частоты от истинного значения и СКО
от усредненной оценки.
Исследовали зависимость относительной погрешности измерения частоты
от отношения
при различных уровнях
шума
.
На рис. 2
представлены результаты для выборки из значений сигнала на
интервале измерения
. Видно, что для этого метода характерно наличие диапазона
отношений
, в котором обеспечивается минимум
, и он всегда находится в окрестности
. При
погрешность
принимает значения
менее 3 % в интервале частот
, а для
– в диапазоне
.
Рис. 2. Зависимость
относительной погрешности измерения частоты от отношения |
Выражения (4),
(6) и (7) позволяют построить достаточно простую цифровую систему для
оценивания мгновенной частоты, которая обновляет оценку при поступлении
очередного отсчета сигнала. Достоинства данного метода оценивания состоят в
том, что аппаратные затраты на его реализацию чрезвычайно низки, а количество
операций на каждом отсчете сигнала фиксировано и не зависит от длины окна
наблюдения . При использовании современных цифровых сигнальных процессоров
(например, ADSP-2191M) можно обрабатывать сигналы
с частотой дискретизации до нескольких десятков мегагерц.