Економічні науки/8 Математичні методи в економіці

Скрильник І.І.

Полтавський національний технічний університет

імені Юрія Кондратюка, Україна

Управління портфелем цінних паперів у випадку декількох інвесторів

Запропоновано розв¢язання задачі оптимізації капіталовкладень у цінні папери при наявності декількох рівноправних учасників за допомогою пофарбування нечітких графів.

У цьому випадку кожен інвестор має свій власний капітал . Нехай на ринку цінних паперів обертається також q видів паперів із ефективностями . Учасники можуть сформувати свій власний портфель, незалежно від інших. У такому випадку ризик капіталовкладень є індивідуальним для кожного учасника, а неприбуткові портфелі не підтримуються іншими інвесторами.

Відомо, що диверсифікація портфеля дає позитивний результат, тобто при збільшенні кількості видів цінних паперів у портфелі ризик стає обмеженим і наближується до нуля:

,

(1) (2)

де q – кількість видів цінних паперів, що обертаються на ринку; — максимальне значення ризику для і-ого виду цінних паперів. Відповідно, для зменшення ризику портфеля потрібно збільшити номенклатуру цінних паперів у ньому. Але при цьому розмір часток капіталовкладень по окремим видам паперів зменшується, а, отже, знижується процент прибутку від більш прибуткових паперів.

Більш цікавою є ситуація, коли вдається знизити значення максимального ризику або збільшити кількість цінних паперів у портфелі без зменшення процентного співвідношення часток капіталу по окремим видам паперів. Це можливо у таких випадках:

§ об¢єднання портфелів декількох інвесторів в один;

§ формування спільного портфеля шляхом об¢єднання часток капіталу.

У першому випадку номенклатура цінних паперів автоматично збільшується при об¢єднанні портфелів, а, отже, ризик відповідно до (1) зменшується. Проте, ця ситуація провокує боротьбу за контроль портфеля між учасниками. У другому випадку право контролю над портфелем зберігається у кожного учасника, проте інвестори виділяють певну частку власного капіталу для формування спільного портфеля, який належить усім учасникам. Розподіл прибутку в такому разі відбувається за домовленою схемою, наприклад, в еквіваленті вкладених коштів кожного з учасників. У цьому випадку оптимізація спільного портфеля відбувається за рахунок спільних коштів, яка передбачає купівлю та розподіл цінних паперів між учасниками. Хоча формально існує портфель, у реальності придбані папери зберігаються у учасників, тобто, реально існує портфелів. Отже, ризик для кожного із учасників буде обчислюватись так:

(3) (4)

де — ризик спільного портфеля, тобто ризик для кожного із учасників; — максимальний ризик портфелів учасників; — значення ризику для j-ого портфеля. У даному випадку склад початкового портфеля не накладає ризик на всі інші портфелі, оскільки формування спільного портфеля оптимізує індивідуальні портфелі учасників.

Нехай існує n учасників із початковими капіталами , які вони хочуть розподілити певним чином для формування індивідуальних портфелів та спільного портфеля цінних паперів. Якщо кожен із учасників виділяє певну частку свого капіталу для формування спільного портфеля, тоді капітал кожного із інвесторів буде дорівнювати:

(5)

де — доля капіталу і-ого інвестора, яку він планує вкласти в спільний портфель; — капітал, що і-ий інвестор планує вкласти у власний портфель, який буде для кожного учасника розподілений по-різному:

.

(6)

Тут q показує загальну кількість цінність паперів, що обертаються на ринку цінних паперів. Отже, графова модель, яка відображає такий розподіл капіталу між учасниками буде мати вигляд (рис. 1).

Рис. 1. Модель формування спільного портфеля

Спільний портфель, сформований n інвесторами є графом-зіркою виду .

Оскільки планується придбати q видів цінних паперів, які будуть розподілені між n учасниками, то розподілений таким чином капітал буде n-дольним графом, утвореним із графа-зірки . Отже, задача формування спільного портфеля зводиться до пофарбування n-дольного графа у q кольорів.

Капітал, виділений кожним учасником для формування спільного портфеля у цьому разі дорівнює

.

(7)

Зменшення ризику портфелів усіх учасників здійснюється за рахунок специфіки властивостей еквівалентної інформаційно-графової структури. Якщо прийняти, що є ефективностями цінних паперів, а відображує частки капіталів n інвесторів, то отримуємо інформаційно-графову структуру

,

(8)

яка показує зв¢язки між капіталовкладеннями та ефективностями придбаних паперів.

Якщо паттерн є оптимальним спільним портфелем, то можна розкласти на шари , що співвідносяться індивідуальним портфелям кожного з інвесторів.

Отже, формально формування спільного портфеля призводе до такого розподілення цінних паперів по індивідуальним портфелям, при якому ризик усіх учасників є однаковим і залежить лише від ризику спільного портфеля. Умова перевірки правильності побудови паттерну у випадку формування спільного портфеля набуває вигляду

.

(9)

Паттерн формується таким чином, щоб його елементами були значення ризиків цінних паперів.

Література:

1. Дубов Ю. А. Многокритериальные модели формирования выбора варианта систем / Ю. А. Дубов. – М.: Наука, 1986. – 296 с.

2. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман ; пер. с франц. В. Б. Кузьмина / под ред. С. И. Травкина. – М: Радио и связь, 1982. – 431 с.