Сизоненко
В.Л., Коваленко Н.И.
К плазменной модели распространения нервного импульса
После выхода в свет работ Ходжкина и
Хаксли [1], [2] прошла буквально лавина исследований механизма распространения
нервного импульса в биологически активной мембране (см. [3] – [6] и
цитированную там литературу). В частности, существенное развитие теории этого
явления принадлежит работам Маркина, Чизмаджева и др. авторов, выполненных в
1969–1974 гг. [4, с.373], [5]. Они, по-существу, стали классическими в области
нейробиологии.
В основу теоретических работ было положено
уравнение распространения возбуждения по немиелизированному однородному волокну
мембраны [4, с.373]:
, (1)
где – потенциал мембраны,
отсчитываемый от потенциала покоя,
– сумма внешнего и
внутреннего сопротивлений,
– емкость единицы
длины волокна,
– ионный ток, текущий
через мембрану (отнесенный к единице длины волокна);
> 0, если ток
течет наружу.
Если импульс бежит по волокну с постоянной
скоростью , то уравнение (1), переписанное в терминах переменной
, принимает вид [4]:
, (2)
где выполнены условия: и
. Оказалось, что прямая
= 18,5 мВ пересекает
кривую
в двух точках,
соответствующих большей (
) и меньшей (
) скорости
, но одно из решений (
) неустойчиво. Эта теория показала, что скорость
распространения импульса определяется электрическими и геометрическими
параметрами аксона, практические независимо от формы исходного импульса [4].
Вместе с тем, уравнение (1) является
феноменологическим, выведенным на основании некой электрической схемы мембраны,
и поэтому может не отражать всех тонкостей протекания тока по аксоплазме. В настоящей работе мы развили теорию
протекания токов в цитоплазме аксона и вне го, рассматривая жидкости с обеих
сторон мембраны как электролиты, содержащие плазму ионов разных сортов. В итоге
нами получены уравнения типа (1), (2), но отличающиеся от них в некоторых
деталях.
Будем считать условно, что биологическая
мембрана лежит параллельно оси в области
и бесконечна вдоль
. С наружной стороны мембраны (
) присутствует электролит, в котором имеются однозарядные
ионы
,
и
, коэффициенты диффузии которых
одинаковы (в действительности они одного порядка):
(
) ~
(
) ~
(
) ~
см2/с, но
для расчетов это не имеет принципиального значения). В цитоплазме аксона (
) находится такой же электролит с ионами
,
и
, но здесь еще содержится и значительная часть анионов
органического происхождения (изэтионовая кислота) [4, с.365],
которые сквозь тело липидного бислоя мембраны проникать не могут. Наличием
двухзарядных ионов
,
и др. пренебрегаем.
Для определения распределения потенциала электрического поля
в электролите необходимо решить систему уравнений для плотностей
частиц
ионы
;
;
;
).
, (3)
, (4)
где
и
– электрический заряд иона
,
– температура,
– диэлектрическая проницаемость среды (
≈ 80, как и для воды). Плотности потоков зарядов
определяются
соотношениями
, (5)
При этом задаются следующие граничные
условия:
|
(6) |
Если учесть, что перенос частиц из-за
диффузии в электролите происходит за характерные времена
~
~
~
, (7)
которые значительно меньше времени
прохождения нервного импульса (~), то левые части в (3) малы, и для
справедливы выражения
, (8)
где
,
при
,
при
. В области, где
, из (3) находим, что
, (9)
где
– плотность тока (5)
вдоль оси
на поверхности
мембраны
;
при
,
при
. При выводе соотношений (8), (9) предполагалось, что
,
.
Уравнение
(4) с учетом (8) в области следующее:
. (10)
В случае решения уравнения
(10) имеют вид:
;
, (11)
а при они заданы
соотношением:
;
, (12)
где
и
– значения потенциала
на границах мембраны
и
соответственно:
,
, (13)
– радиус Дебая-Гюхкеля в области
,
– его значение при
,
– диэлектрическая
проницаемость липидного бислоя. При получении соотношений (13) предполагалось,
что
, но ими можно пользоваться и в случае
~
.
На начальной стадии нервного импульса,
когда открываются натриевые каналы, и ионы начинают входить
внутрь аксона, можно считать, что в наружной среде
,
, а ионы калия и анионы
отсутствуют
. Тогда из уравнения (9) с учетом (11) получим, что
,
,
|
(14) |
Если выполнено условие
, (15)
то из (14) следует, что в области плотность
становится исчезающее
малой
, и ток ионов натрия отсутствует.
Поскольку ионы хлора () не могут проходить через мембрану, то они с уходом ионов
натрия начинают перемещаться в область больших положительных значений
. При этом в интервале
из (9) получаем, что
|
(16) |
В области плотность
возрастает с ростом
, достигая при
~
максимальной величины, которая остается значительно меньшей
. Здесь же, согласно (4), появляется и маленькое
электрическое поле, которое для наших расчетов не имеет значения. Иными
словами, излишние ионы хлора уходят от поверхности мембраны во внешнюю область,
так что максимум их плотности находится в точке
~
.
При поступлении ионов натрия во внутреннюю
область аксона уравнения (8), (9) для здесь неприменимы,
поскольку на какое-то время (порядка
~
) плотность этих ионов может
стать больше исходной равновесной
. Однако, при больших временах
излишние ионы
уходят от поверхности
мембраны во внутреннюю часть аксона, так что их плотность
вблизи липидного
бислоя опять становится малой, и на распределение потенциала вдоль
не влияет.
Рассмотрим теперь поведение ионов во
внутренней аксоплазме на второй стадии процесса, когда натриевые каналы
мембраны закрываются, но открываются каналы для ионов . Тогда
,
,
,
, и для
становятся
справедливыми соотношения типа (8), (9):
=
,
, (17)
(18)
Подставляя в (18) выражение (12) для , получим аналогично (14), (15) следующие формулы:
,
|
(19) |
Если выполнено условие
, (20)
то из (19) следует, что в области плотность
становится исчезающее
малой
, и ток ионов калия отсутствует.
Поскольку анионы не могут проходить
через мембрану, то они с уходом ионов калия начинают перемещаться в область
больших отрицательных значений
. При этом в интервале
из (9) получаем, что
|
(21) |
В области плотность
возрастает с
уменьшением
, достигая при
~
максимальной
величины, которая остается значительно меньшей
. Здесь же, согласно
(4), возникает и маленькое электрическое поле, которое для наших расчетов не
имеет значения. Иными словами, излишние анионы
уходят от поверхности
мембраны внутрь аксона, так что максимум их плотности находится в точке
~
(
– момент времени,
когда
).
При поступлении ионов калия во внешнюю
область аксона уравнения (8), (9) для здесь неприменимы,
поскольку на какое-то время (порядка
) плотность этих ионов может стать больше исходной
равновесной
. Однако, при больших
временах (
) излишние ионы
уходят от поверхности
мембраны во внешнюю часть аксона, так что их плотность
вблизи липидного
бислоя опять становится малой, и на распределение потенциала вдоль
не влияет.
Основную ценность для нас представляют соотношения
(15) и (20), поскольку они связывают ток через мембрану с изменением потенциала
. Полагая далее, что
I = |
|
(22) |
|
,
, (23)
приходим к следующей формуле связи тока с потенциалом
:
|
при |
(24) |
|
при |
Сравним теперь формулы (24) с (2). Видно,
что у нас первые слагаемое в (2) отсутствует, а для емкости справедлива оценка
. (25)
Прежде, чем сравнивать наши результаты с
экспериментами, отметим, что развитая здесь теория пригодна только для
немиелизированных аксонов, так как мы не предполагали наличие перехватов Ранвье
во внешней области аксона. Как известно, скорости распространения импульсов в
таких системах лежат в пределах = 0,7 – 2,3 м/с, в то
время как в миелизированных волокнах
они равны:
= 10–100 м/с [4, c.361]. Беря теперь значения:
~ 1019 см-3,
30 нм,
= 50 нм,
80,
4,
= 20 м/с,
= 1,5 м/с, получим из
(25), что
~
ед.
= 0,2 мкΦ/см. (26)
Эта оценка хорошо соответствует значению = 0,157 мкΦ/см,
найденному для аксонов [4, c.373].
Нашей моделью можно пользоваться, однако,
и в случае миелизированных волокон, если под током подразумевать
значение тока, усредненное по некоторой длине, содержащей несколько перехватов
Ранвье. При этом нужно учитывать, что в немиелизированном аксоне через 1 мкм2
поверхности проходит около 20 000 ионов
, так что плотность ионного тока в перехвате примерно в
десять раз больше, чем в немиелизированных гигантских аксонах [4, c.368]. Поэтому для применимости нашей модели ток
в (24) должен быть
уменьшен приблизительно в десять раз, что эквивалентно увеличению значение
тоже в десять раз,
т.е. до предела
10
15 м/с. В этом случае опять получаем для
оценку (26).
Уменьшение коэффициента при во второй формуле
(24) почти в два раза, казалось бы, должно увеличивать крутизну фронта
потенциала
. В действительности же этого не происходит по той причине,
что ток ионов калия возрастает намного медленнее, чем входной ток ионов натрия.
Развитая нами теория, основанная на
решении точных уравнений диффузии ионов в электрометах, показывает, что первое
слагаемое в (2) привнесено туда искусственно. Однако, без него далеко идущие
выводы о поведении нервных импульсов в аксонах [4], [7], оказываются
недоказанными.
Литература:
1.
Hodgkin A.L., Huxley A.F. // I. Physiol. 1952. V. 117. P. 500–544.
2.
Ходжкин А. Нервный
импульс: Пер. с англ. М.: Мир, 1965.
3.
Шеперд Г. Нейробиология.
Т. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. – 454 с.
4.
Волькенштейн М.В.
Биофизика. М.: Наука, 1988. – 592 с.
5.
Ходоров Б.И. Общая
биология возбудимых мембран. М.: Наука, 1975.
6.
Тасаки Н. Нервное
возбуждение: Пер. с англ. М.: Мир, 1971.
7.
Маркин В.С., Пастушенко
В.Ф., Чизмаджев Ю.А. Теория возбудимых сред. М.: Наука, 1981