Економічні науки/Математичні методи в економіці

К.ф.-м.н., доц.., Глушик М.М., Телесницька Н.М.

Львівська комерційна академія

Ефективність інвестиційної діяльності галузі

Економічна наука на сучасному етапі більше уваги приділяє питанням організації та управління економічними процесами. Це обумовлено швидким її розвитком, збільшенням темпів та вартості реалізації проектів, автоматизацією управління, науковим аналізом складних економічних процесів з метою удосконалення структури та організації прийняття рішень [3]. Вагомий вклад в реалізацію поставлених на сучасному етапі розвитку економіки задач дає інвестиційна діяльність, яка направлена на залучення додаткових ресурсів з метою збільшення прибутку з акцентом на організаційні засади її реалізації та управління цим процесом. Як правило, інвестиційна діяльність визначається конкретним інвестиційним проектом для конкретного підприємства конкретної галузі. У даному випадку нас будуть цікавити інвестиційні ресурси, які вкладаються в об'єкти підприємницької діяльності, в результаті якої створюється прибуток (дохід). Наука в цьому випадку повинна дати рекомендації щодо прийняття найкращого рішення при управлінні цими ресурсами. В свою чергу це вимагає ефективного використання математичного апарату і досконалим його володінням.

В даній роботі автори пропонують використання математичного апарату до моделювання виробничої діяльності підприємств галузі на основі ефективного використання інвестиційних активів з метою отримання максимального валового прибутку.

Постановка задачі. Інвестиційний ресурс в обсязі одиниць потрібно розподілити між різними економічними структурами так, щоб отримати максимальний валовий дохід від вибраної стратегії розподілу.

Побудуємо математичну модель задачі. Позначимо через - кількість ресурсів, виділених -ому підприємству ( ); - величину валового доходу від використання ресурсу , одержаного - ою економічною структурою; - найбільший дохід, який можна отримати при використанні ресурсів від перших різних економічних структур галузі.

Тоді сформульовану задачу можна представити в математичній формі наступним чином: знайти найбільше значення функції при обмеженнях , .

Дана задача являє собою динамічну задачу і, як відомо, для її розв’язання можна застосувати методи динамічного програмування [1].

Для цього інвестиційний ресурс розіб’ємо на частини. Для спрощення аналізу задачі розіб’ємо його на k однакових частин. Тоді розв’язок задачі зведеться до розв’язування n однотипних задач. На кожному із етапів ми будемо отримувати оптимальний розв’язок, який ми будемо називати умовно оптимальним або умовно оптимальною стратегією розподілу активів. Оптимальний розв’язок буде складатися із сукупності умовно оптимальних розв’язків. Для знаходження розв’язку задачі скористаємося методом функціональних рівнянь Белмана. Функціональне рівняння Белмана є рекурентним і зв’язує розв’язки задач на двох сусідніх етапах. Кількість етапів розв’язування буде рівна кількості економічних структур галузі між якими проводиться розподіл активів інвестиції.

Для розв’язання задачі отримаємо рекурентне співвідношення, яке зв’язує валові доходи від розподілу інвестиції на двох сусідніх етапах і [2].

Для цього позначимо через кількість ресурсу, який використовує - те підприємство ( ), тоді для ( ) підприємств залишаться ресурси в кількості ( ) одиниць. Валовий дохід, який отримується при використанні ресурсу ( ) від перших ( ) підприємств, буде рівним .

Для максимізації валового доходу від - го і перших ( ) економічних структур галузі необхідно вибрати таким чином, щоб виконувалися співвідношення:

, , .

Для розв’язання даної задачі інвестор повинен мати інформацію про дохідність кожної економічної структури галузі (підприємств галузі). Дана інформація носить емпіричний характер і має вигляд

Таблиця 1

К-ть засобів	Приріст (валовий дохід)
	Під-тво 1	Під-тво 2	…	Під-тво n
х1	a11	a12	…	a1n
х2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
хk	ak1	ak2	…	akn

Проілюструємо запропонований підхід до аналізу ефективної інвестиційної діяльності на прикладі.

Приклад. Інвестиційна компанія виділила активи для розвитку галузі, яке складається із чотирьох підприємств в обсязі 120 млн.грн. Валовий дохід кожного підприємства галузі залежить від виділених активів, і задається таблицею 2.

Потрібно вказати таку стратегію розподілу активів між підприємствами галузі, яка забезпечує максимальний валовий дохід від такого розподілу (на одне підприємство можна виділити тільки одну інвестицію).

Таблиця 2

Виділені засоби (млн.грн.)	Приріст випуску продукції, млн.грн.
	Підприємство №1	Підприємство №2	Підприємство №3	Підприємство №4
20	8	10	12	11
40	16	20	21	23
60	25	28	27	30
80	36	40	38	37
100	44	48	50	51
120	62	62	63	63

Розв’язування. Розіб’ємо розв’язок задачі на чотири етапи по кількості підприємств, на які пропонується вкладення інвестицій.

Рекурентні співвідношення матимуть вигляд: для підприємства №1 , для інших підприємств , .

Розв’язування проводитимемо згідно з рекурентним співвідношенням в чотири етапи.

1-етап. Інвестицію виділяємо тільки першому підприємству.

Тоді результуюча таблиця після першого етапу буде мати вигляд

Таблиця 3

Обсяги інвестування
20	8
40	16
60	25
80	36
100	44
120	62

2-етап. Інвестицію виділяємо першому і другому підприємствам. Рекурентне співвідношення для 2-го етапу має вигляд .

Тоді при ,

при ,

при

,

при

,

при

,

при .

Тоді результуюча таблиця після другого етапу буде мати вигляд

Таблиця 4

	0	20	40	60	80	100	120
20	8+0	10+0						10	20
40	16+0	8+10	20+0					20	40
60	25+0	16+10	8+20	0+28				28	60
80	36+0	25+10	16+20	8+28	0+40			40	80
100	44+0	36+10	25+20	16+28	8+40	0+48		48	100
120	62+0	44+10	36+20	25+28	16+40	8+48	0+62	62	120

3-етап. Фінансуємо перше, друге і третє підприємства. Розрахунки проводимо за формулою . Тоді

при ,

при ,

при ,

при ,

при ,

при

.

Тоді результуюча таблиця після третього етапу буде мати вигляд

Таблиця 5

	0	20	40	60	80	100	120
20	10+0	12+0						12	20
40	20+0	10+12	0+21					22	20
60	28+0	20+12	10+21	0+27				32	20
80	40+0	28+12	20+21	10+27	0+38			41	40
100	48+0	12+40	21+28	27+20	38+10	0+52		52	20
120	62+0	48+12	40+21	28+27	20+38	10+50	0+63	63	120

4-етап. Інвестицію в 120 млн.грн. розподіляємо між чотирма підприємствами. Діючи аналогічно для даного етапу, отримаємо

Таблиця 6

	0	20	40	60	80	100	120
20	12+0	11+0						12	0
40	22+0	12+11	0+23					23	40
60	32+0	22+11	12+23	0+30				35	60
80	41+0	32+11	22+23	12+30	0+37			45	40
100	52+0	41+11	32+23	22+30	12+37	0+51		55	40
120	63+0	52+11	41+23	32+30	22+37	12+51	0+63	64	40

При побудові таблиці 4 перші доданки вибрані з таблиці 3, другі – з таблиці 2. Аналогічно при побудові таблиці 5 перші доданки вибрані з таблиці 4, другі - з таблиці 2. Аналогічно для таблиці 6. Результати розподілу аактивів представимо у вигляді підсумкової таблиці

20	20	8	20	10	20	12	0	12
40	40	16	40	20	20	22	40	23
60	60	25	60	28	20	32	60	35
80	80	36	80	40	40	41	40	45
100	100	44	100	48	20	52	40	55
120	120	62	120	62	120	63	40	64

Ми отримали умови управління від 1-го до 4-го етапів. Повернемося від 4-го до 1-го етапу. Максимальний приріст інвестиції в 64 млн.грн., отриманий на 4-му етапі як 41+23, тобто 23 млн.грн., відповідає виділенню 40 млн.грн. четвертому підприємству. Згідно з 3-м етапом 41 млн.грн. отриманий як 20+21, тобто 21 млн.грн. відповідає виділенню 40 млн.грн. третьому підприємству. Згідно з 2-м етапом 20 млн.грн. отримано при виділенні 40 млн.грн. другому підприємству.

Таким чином, інвестицію в 120 млн.грн. вигідно виділити другому, третьому і четвертому підприємствам по 40 млн.грн. кожному, при цьому приріст продукції буде максимальним і складе 64 млн.грн.

На рисунку виділено оптимальне управління, що відповідає інвестиції в 120 млн.грн.

Розв’язок задачі представлений останньою таблицею представляє розв’язок більш ширшого кола задач розподілу інвестиції в межах до 120 млн.грн. з числом економічних структур до чотирьох.

Література:

1. М.М. Глушик, Копич І.М., Сороківський В.М. Математичне програмування (гриф МОН). Навчальний підручник.-Львів: Вид-тво „Новий світ-2000”, 2009.-280 с.

2. М.М. Глушик, Н.М. Телесницька Н.М. Дослідження операцій.(Гриф МОН) – Львів: «Новий світ-2000», 2009. -368 с.

3. Глушик М.М., Телесницкая Н.М. Математические аспекты эффективности производственной деятельности предприятия. Materialy ІV mezinarodni vedecko – prakticka konference «Efektivni nastroje modernich ved – 2008». Dil 5. Ekonomicke vedy: Praha. Publishing House «Education and Science» s.r.o -112 stran.