УДК 517.95
Турметов
Б.Х., Шыналиев К.М.
Об одном методе построения решения
обыкновенных дифференциальных уравнений дробного
порядка
В
настоящей работе рассматривается операторный метод построения решения
обыкновенных дифференциальных уравнений
дробного порядка.
Пусть 
. Рассмотрим следующие операторы дробного интегро-дифференцирование дробного порядка (см.[1])
,
,
, 
Здесь
называется оператором
интегрирования порядка 
в смысле
Римана-Лиувиля, а 
и 
операторами
дифференцирования порядка 
в смысле
Римана-Лиувиля и Капуто соответственно.
Рассмотрим
дифференциальное уравнение вида
, 
(1)
где 
Заметим,
что исследуемый метод был рассмотрен для дифференциальных уравнений целого
порядка в работе [2].
Пусть 
, 
. Легко показать, что
.
Введем коэффициенты 
, 
, 
, 
.
и рассмотрим функции
, 
,
где 
и 
.
Теорема
1. Пусть 
и 
принимает значения 
. Тогда справедливы следующие
равенства
, 
, 
Теорема 2. Пусть 
и 
. Тогда справедливы следующие
равенства
, 
, 
Следствие 1.
Если 
и 
принимает значения 
, то функции 
удовлетворяют
уравнению (1) в случае оператора 
и 
.
Следствие 2.
Если 
и 
принимает значения 
, то функция 
является
решением следующей задачи Коши
, 
,
.
Следствие 3.
Если 
и 
принимает значения 
, то функция 
является
решением следующей задачи Коши
, 
,
,
где 
.
Замечание 2. Легко показать, что для коэффициентов 
и 
при 
справедливы следующие
равенства
, 
.
Следовательно, для функций 
и 
имеют место представления
, 
.
А тогда
,
функции
типа Миттаг-Лефлера и поэтому
результаты следствия 2 и 3 совпадают с
результатами работы [1,3].
Следствие 4.
Если 
и 
принимает значения 
, то функции 
, 
, 
удовлетворяют
уравнению (1) в случае оператора 
.
Следствие 5.
Если 
и 
принимает значения 
, то функции 
, 
, 
удовлетворяют
уравнению (1) в случае оператора 
.
ЛИТЕРАТУРА
Самко С.Г., Кильбас А.А., Маричев
О.И. Интегралы ипроизводные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск,
Наука и техника. 1987. – 688с.
2.Бондаренко Б.А. Операторные
алгоритмы в дифференциальных уравнениях. – Ташкент,Изд.” Фан”., 1984. – 184с.
3.Kilbas A.A.New
trends on fractional integral and differential equation. Ученые записки Казанского государственного
университета.2005, т.147. кн.с.72-106.