Экономические науки /8. Математические методы в экономике

 

К.ф.-м.н. Катаргин Н.В., к.т.н. Богомолов А.И., к.т.н. Костюнин В.И.

 

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации

 

Исследование системы, состоящей из производителей продукции, власти и криминала

 

         Норвежский математик-экономист, лауреат Нобелевской премии Т.Хаавелмо (Trygve Magnus Haavelmo)  изучал системы одновременных уравнений, описывающие экономические процессы. Он предложил систему из двух уравнений, описывающих развитие системы, включающей в себя N людей (население), производящих и потребляющих   Y единиц продукции, причём Y отстаёт от  N. Прирост населения пропорционален его количеству (модель Мальтуса), но при дефиците продукции происходит убыль населения.

                                               

где N – население

      Y – произведённая продукция

      a, b, c, A  – коэффициенты.

         Нами проведено исследование данной системы уравнений методом конечных разностей в среде Excel. Начальное население N = 100, временной интервал dt = 0,01.  Далее приведён пример: часть таблицы Excel с формулами и результатами расчетов.

                                                                                      Таблица 1.

 

А

В

С

1

N

dN

Y

2

100

 

=A*A2^c

3

=А2+В3

=(a*A2-b*A2^2/C2)*dt

22,257

4

71,967

-12,165

19,952

5

62,432

-9,534

18,062

6

54,818

-7,613

16,491

 

 

         Некоторые результаты расчётов представлены в Таблице 2 и на Рисунке 1. Изменённые коэффициенты очерчены рамками. Номера графиков на Рисунке 1 соответствуют номерам колонок в Таблице 2.

Таблица 2.

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

a

3

12

20

20

30

50

50

50

50

b

7

7

7

7

7

7

7

7

5

c

0,7

0,7

0,7

0,7

0,7

0,7

0,6

0,5

0,5

A

2

2

2

1

1

1

1

1

1

Асимптота

0,6

60,8

333,6

33,1

128

702

136

51

100

 

Рис. 1. Динамика популяции в зависимости от параметров системы.

 

На графиках видно, что решения системы уравнений близки к экспонентам, стремящимся к асимптотам, которые, как показали расчеты,  не зависят от начального значения N.

         Мы также исследовали расширенную модель Хаавельмо, включив в неё действующих лиц: криминал ( К ) и власть ( V ). Криминал забирает себе часть продукции Y, равную  rK, размножается со скоростью fK и при дефиците продукции вымирает со скоростью sK2/Y, т.е. по тому же закону, что и население. Власть уменьшает количество криминала с эффективностью е, т.е. на eV за временной интервал. Власть (точнее, расходы на власть) пропорциональна продукции ( = vY ) и уменьшает Y на величину V. Модель принимает вид:        

 

                                                    

 

                                                     

 

                                                    

                                          

                                           V = vY

Во всех расчетах использованы коэффициенты столбца 6 первой модели и одинаковые коэффициенты: размножения криминала f, убывания криминала s и пропорциональности продукции и власти v:

a

b

c

А

f

s

v

50

7

0,7

1

20

7

0,1

 

Фрагмент таблицы Excel для расчётов представлен в Таблице 3, результаты расчётов – в Таблице 4 и на Рисунке 2.

 

                                                                                          Таблица 3.

 

A

B

C

D

E

3

N

dN

Y

K

V

4

100

 

24,51

3

2,45

5

121,45

21,45

25,68

3,19

2,56

6

141,98

20,53

28,85

3,39

2,88

 

                                                                                                 Таблица 4.

№

6 табл.2

1

2

3

4

5

6

r

0

0,2

0,33

0,2

0,2

0,2

0,1

e

0

2

2

12

15,6705

15,67051

2

Асимптота населения

702

127

65

130

131

511

237

Асимптота криминала

0

50,7

26

51

51

0

94,5

 

Рис. 1. Динамика популяции  и криминала в зависимости от параметров системы.

 

Рассмотрение Таблицы 4 и Рисунка 2, а также эксперименты с начальными значениями N и K приводят к следующим выводам:

1.     Население и криминал могут испытывать значительные  колебания в начальной стадии процесса, но в конечном итоге стремятся к асимптотам, если не произошла катастрофа. Изменение начальных значений N и K не приводит к существенному изменению  асимптот.

2.     Криминал, присваивающий даже небольшую часть продукции, в перспективе резко сокращает население и производство: при r =10%  асимптота населения падает в 3 раза ( сравните № 6 таблиц 1 и 4 ), при     r = 20% в 5 раз ( № 1 ). При r = 33%  имеют место затухающие колебания населения и криминала, асимптота падает в 10 раз ( № 2 ); около 40% наступает катастрофа: население  падает до нуля.

3.     Эффективность власти е не влияет на асимптоты криминала и незначительно (до 15%) влияет на асимптоту населения, однако существуют критические значения коэффициентов e, при которых  действия власти могут поддерживать количество населения довольно длительное время на высоком уровне   ( № 4 ), но, в конечном итоге, криминал начинает быстро расти, затем и криминал, и население  падают и стабилизируются ( Рис.2,  графики 4, К4 ). Критические значения е пропорциональны начальному значению криминала К (расчёты проведены при К0 = 3, а при К0  = 20 екрит.= 92,5 ). При ничтожном превышении критического значения е (сравните № 4 и      № 5) криминал через какое-то время полностью истребляется,  население и производство стабилизируются на существенно более высоком уровне (Рис.2, № 5 и К5).